НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.2.3. Полнота в смысле Фреше

Определение 1.Последовательность точек xn пространства со скалярным произведением сходится по норме к точке x, принадлежащей пространству, если числовая последовательность ||xn-x|||n→∞→0, то есть ∀ε>0 ∃ N=N(ε): (n>N ⇒||xn-x||<ε). Обозначение используется обычное: {xn}→x.

Определение 2.Пусть множество M⊂E. Множество ⊂E называется замыканием множества M, если для любой точки x∈ существует последовательность не обязательно различных точек из множества M, сходящихся к точке х.

Определение 3.Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, то есть M=.

Комментарий. (В определении допускаются стационарные, начиная с некоторого номера, последовательности. Поэтому множество, состоящее из любого конечного числа изолированных точек, замкнуто. Позже мы рассмотрим этот вопрос подробнее.)

Определение 4.Последовательность точек xn эвклидова пространства E называется фундаментальной, если ∀ε>0 ∃n0=n0(ε):(∀n,m>n0⇒||xn-xm||<ε).

Определение 4*.Последовательность точек xn эвклидова пространства E называется фундаментальной, если ∀ε>0 ∃n0=n0(ε):(∀n>n0, ∀p∈N ⇒||xn-xn+p||<ε).

Теорема 1.Последовательность точек xn эвклидова пространства E фундаментальна, если она сходится по норме к точке x, принадлежащей пространству.

Пусть {xn}→x. Тогда Выберем произвольные n,m>n0. Тогда из неравенства треугольника имеем ||xn-xm||≤||xn-x||+||xm-x||<ε.

Комментарий. (Обратное, вообще говоря, неверно.)

Определение 5.Эвклидово пространство E называется полным (в смысле Фреше), если всякая его фундаментальная последовательность сходится.

Определение 6.Полное бесконечномерное эвклидово пространство называется гильбертовым.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь