1.2.2. Геометрия пространств со скалярным произведением

Теорема 1. (Неравенство Буняковского-Коши или неравенство Шварца).

1. Действительный случай: (x,y) ≤|(x,y)| ≤||x||*||y||.

Пусть x,y∈E, z=x+λy ∈E, (z,z)≥0, то есть (z,z)=(x+λy,x+λy)=(x,x)+2λ(x,y)+λ²(y,y)≥0. Это квадратное неравенство относительно λ выполнено ∀x,y ∈E, если его дискриминант D≤0, то есть (x,y)²-||x||²||y||²≤0 ⇒ |(x,y)|≤||x||*||y||.

2. Комплексный случай: |(x,y)|≤||x||*||y||.

Пусть Подставив его в неравенство, получим то есть

Теорема 2. (Неравенство Минковского или неравенство треугольника): ||x+y||≤||x||+||y||.

. Для действительного случая ||x+y||²=(x+y,x+y)=||x||²+2(x,y)+||y||², но (x,y)≤|(x,y)|≤||x||*||y||. Тогда ||x+y||²≤(||x||+||y||)².

Определение 1. Пусть x,y ∈ E. Косинус угла между элементами x и y определяется равенством , где φ∈[0,π].

Комментарий. (Два элемента произвольного евклидова пространства называются ортогональными, если скалярное произведение этих элементов равно нулю. Нуль - вектор ортогонален любому ненулевому вектору.)

Теорема 3. (Равенство параллелограмма):

||x+y||²+||x-y||²=2(||x||²+||y||²).

||x+y||²+||x-y||²=(x+y,x+y)+(x-y,x-y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)+(x,x)-(x,y)-(y,x)+(y,y)=2(||x||²+||y||²).

Следствие: ||x+y||²+||x-y||²=4(x,y).

Комментарий. (В параллелограмме, построенном на векторах x,y∈E³, где E³ - обычное геометрическое пространство, диагонали задаются векторами x+y и x-y, а, как учат в восьмом классе, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Равенство параллелограмма является, в некотором смысле, бесконечномерным обобщением этого факта. В неэвклидовых пространствах равенство параллелограмма не выполняется.)

Пример. В линейном пространстве последовательностей комплексных чисел x={x₁,x₂,...,x_i,...}, скалярное произведение можно ввести следующим образом: . Аксиомы скалярного произведения очевидны. Ряды сходятся по условию, а из неравенства Буняковского-Коши