1.2.1. Определения и примеры

Определение 1.Пусть задана линейная структура (L, F, +, ·), где x,y,z,...∈L, поле F совпадает или с полем действительных чисел R или с полем комплексных чисел C. Говорят, что на линейной структуре (L, F, +, ·) задано скалярное произведение (x,y), любым элементам носителя x,y ставится в соответствие действительное или комплексное число, удовлетворяющее аксиомам (легко доказываемым для обычных геометрических векторов):

Комментарий. (В определении мы абстрагируемся не только от природы изучаемых элементов и конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на действительное число, но и от конкретного вида правила образования скалярного произведения двух элементов. Важно лишь, чтобы указанные правила удовлетворяли аксиомам. Бесконечномерные эвклидовы пространства часто называют предгильбертовыми. В действительном эвклидовом пространстве скалярное произведение (x,y) коммутативно, то есть (x,y)=(y,x), и линейно и по второму аргументу. Сложнее с комплексным эвклидовом пространством. Здесь )

Определение 2.Эвклидовой нормой элемента x∈L называют (как аналог длины вектора).

Пример. На множестве непрерывных функций, заданных на сегменте [a,b], определим скалярное произведение Покажем, что это - скалярное произведение.

Из свойств интеграла очевидно выполнение первых двух аксиом. Покажем унитарность. По теореме о среднем Покажем, что Если f(x)=0, то и Покажем обратное. Пусть Покажем, что ∀x∈[a,b] f(x)=0. Пусть ∃x=x₀:f(x)_x=x0≠0. Тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции ∃u_x0:f(x)≠0 ∀x∈u_x0. Но тогда Эвклидова норма элементов в пространстве непрерывных функций

Комментарий. (Скалярное произведение на множестве непрерывных функций, заданных на сегменте [a,b], можно определить, например, как или как Так как скалярное произведение можно ввести различными способами, то и нормы тоже отличаются между собой (длину удава можно мерить и мартышками, и попугаями).)