1.4. Метрические пространства

Теорию метрических пространств построил ученик Ж. Адамара, автора как термина "функционал", так и термина "функциональный анализ", М. Фреше. Он обобщил понятие расстояния, используемого в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов и в математическом анализе при определении предела числовой последовательности или функции.

Определение 1.Пусть X - произвольное непустое множество. Говорят, что на X задана метрика (расстояние) ρ, если каждой паре элементов x,y∈X поставлено в соответствие единственное неотрицательное число ρ(x,y), удовлетворяющее следующим аксиомам:

Таким образом, на носителе X задан неотрицательный функционал ρ(x,y). Пара (X,ρ), то есть множество X с заданной на нем метрикой ρ, называется метрическим пространством.

(Комментарий. Из неравенства треугольника при z=y сразу получаем ρ(x,y)ὅ0, а при z=x сразу получаем ρ(x,y)ὅρ(y,x). Но с другой стороны, неравенство треугольника можно записать так: ρ(x,y)+ρ(y,z)ὅρ(x,y). Тогда при z=y сразу получаем ρ(y,x)ὅρ(x,y), то есть ρ(x,y)=ρ(y,x) ∀ x,y ∈X. Тогда исходная система аксиом заменяется на часто более удобную систему из трёх аксиом: ρ(x,y)ὅ0, ρ(x,y)=ρ(y,x), ρ(x,y)+ρ(x,z)ὅρ(y,z) ∀ x,y,z ∈X)

Определение 2.Если (X,ρ) - метрическое пространство и A ⊂X, то пара (A,ρ) также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства (X,ρ), если ρ_A(x,y)=ρ_X(x,y), то есть расстояние между точками равно расстоянию между этими точками в пространстве (X,ρ).

(Комментарий. Стандартные метрические пространства - это метрические пространства со стандартными носителями и со стандартными метриками. В этих случаях пространства носят стандартные названия.)