15. Тайны золотого сечения

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении ... Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.

И. Кеплер

Пятиконечной звезде - около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком. В средние века пентаграмма "предохраняла" от "нечистой силы", что, впрочем, не мешало называть ее "лапой ведьмы". Вспомним гётевского "Фауста":

 Мефистофель. 

 Нет, трудновато выйти мне теперь. 
 Тут кое-что мешает мне немного: 
 Волшебный знак у вашего порога. 

 Фауст. 

 Не пентаграмма-ль этому виной? 
 Но бес, пробрался ты за мной? 
 Каким путем впросак попался?

Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Чем же объясняется такая популярность звездчатого пятиугольника? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты ее математического строения, была замечена еще Пифагором и с тех пор не устает радовать глаз художника и разум математика.

Рассмотрим подробнее свойства звездчатого пятиугольника. Прежде всего заметим, что уже первый этап его построения - деление окружности на пять равных частей - представляет собой прекрасный пример "обретения неочевидной истины". В самом деле, в то время как деление окружности на 3, 4 и 6 равных частей не представляет затруднений, разделить окружность на 5 равных частей не так-то просто. Вот почему задача о пятикратном делении окружности подробно разбирается в таких великих сочинениях "Начала" Евклида, "Альмагест" Птолемея, "Руководство к измерению" Дюрера^*.

^* (Полное название трактата Дюрера - "Руководство к измерению при помощи циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное на пользу всем любящим знания с надлежащими рисунками в 1525 году".)

Отметим, что хотя метод Дюрера является приближенным, он отличается большой точностью (углы 1 и 2 равны не 108°, а 108°21'58", углы 4 и 5 чуть больше 107°, а угол С чуть больше 109°), так что погрешности приближенного построения на глаз совершенно не воспринимаются. Сам великий художник не обращал внимание читателей на приближенный характер своих построений, возможно, считая их точными. Дюрер придавал исключительное значение геометрии в искусстве. Вместе с книгой "О пропорциях человеческого тела" трактат Дюрера "Руководство к измерению" является торжественным гимном геометрии в искусстве, блестящей страницей в истории взаимодействия науки и искусства. Однако тема искусства и геометрии в творчестве Дюрера заслуживает особого разговора.

Итак, пусть окружность разделена на 5 равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду. Легко видеть, что внутри этой звезды вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и т. д. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠A = 36°, ∠B = ∠С = 72° (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги в 72° (360°: 5) и 144° соответственно). Но ABCD = 36°, поэтому CD является биссектрисой в треугольнике ABC и отсекает от него ΔBCD ∞ ΔАВС. Из подобия этих треугольников имеем АВ:ВС=ВС:DB (рис. (а) на с. 206). Учитывая, что ВС = CD = AD, приходим к пропорции

(15.1)

т. е. "целое" (АВ) так относится к большей части (AD), как большая часть к меньшей (DB). Иначе говоря, точка D делит отрезок АВ в золотом сечении.

Точное деление окружности на 5 равных частей, описанное в 'Альмагесте' Птолемея. Ок 150 до н. э. (а). Приближенное построение пятиугольника по заданной стороне из 'Руководства к измерению' Дюрера 1525 (б). Цифрами обозначены последовательные положение ножки циркуля

Принимая сторону исходного правильного пятиугольника за единицу AF = AD = 1, полагая DB = x и, следовательно АВ = 1 + х, из (15.1) приходим к уравнению (12.1) при а = 1:

которое имеет единственный положительный корень

Поскольку

(проверьте это), то мы окончательно находим: x = DB = AE = EF =...= φ, AD = DC = CB = AF = ... = 1, ED = EG = ...= = 1 - φ = φ².

Ряд золотого сечения 1, φ, φ², φ³, ... в последовательности звездчатых пятиугольников (а) и звездчатых десятиугольников (б)

Повторяя наши рассуждения для треугольника DGH, в котором DG = y, легко видеть, что стороны внутренней звезды будут равны φ³, а стороны ее внутреннего правильного пятиугольника - φ⁴. И т. д.

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует ряд золотого сечения (12.4) при а=1:

причем стороны правильных пятиугольников образуют ряд четных степеней:

а стороны звезд - ряд нечетных степеней:

Наконец, если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой х находится со стороной исходного пятиугольника AF = 1 в золотом отношении, т. е. 1/х = φ ⇒ 1/φ = (√5 + 1)/2 = Φ

Итак, ряд золотого сечения можно неограниченно продолжить и в сторону увеличения, и в общем виде ряд золотого сечения будет иметь вид

или

(15.2)

Ряд (15.2) является геометрической прогрессией со знаменателем Ф. Однако из бесконечного множества геометрических прогрессий ряд (15.2) отличается уникальным свойством, называемым аддитивным свойством: сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда:

В самом деле, поскольку 1 + Φ = Φ² (проверьте это), то

(15.3)

Именно благодаря аддитивному свойству ряд золотого сечения играет важную роль в архитектуре, о чем мы подробнее поговорим чуть позже. А пока заметим, что вместо ряда (15.2) удобнее рассматривать две его "половинки":

возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем Φ≈1,618033988:

(15.4)

и убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем φ = Φ^-1≈0,618033988:

(15.5)

Аддитивное свойство ряда (15.5) прекрасно иллюстрируется последовательностью вписанных друг в друга правильных пятиугольников и пятиконечных звезд (см. с. 206): AD = AE + ED (1 = φ + φ²), DG = DK + KG (φ = φ² + φ³) и т. д.

Итак, правильный пятиугольник и пятиконечная звезда, образованная его диагоналями, обладают массой интересных свойств:

1. Пересекающиеся диагонали правильного пятиугольника делят друг друга в золотой пропорции

2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пятиконечной звезды и сторона образованного звездой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции

3. Стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образуют ряд золотого сечения (15.5), который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем ф и обладает аддитивным свойством (φⁿ = φⁿ⁺¹ + φⁿ⁺², n = 0, 1, 2, ...).

4. Отрезки пятиконечной звезды АВ = Φ, AD = 1, АЕ = φ и ED = φ² связаны между собой всеми видами "древних" средних (5.1), а именно:

- арифметическое среднее;

- геометрическое среднее;

- гармоническое среднее.

В общем случае для четырех последовательных членов ряда (15.5) φⁿ, φⁿ⁺¹, φⁿ⁺², φⁿ⁺³ нетрудно доказать справедливость соотношения

5. Из всех равнобедренных треугольников только треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает особым свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. Такой треугольник (например, ΔАВС на с. 206) получил название "возвышенного".

Подведем некоторый итог: мы выполнили обещание, данное на с. 204 и показали, что пятиконечная звезда (пентаграмма) наряду с золотой пропорцией содержит все "древние" средние. Такое необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического строения, по-видимому, и являются основой красоты ее внешней формы. Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.

Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Это легко сделать с помощью описанного нами метода Птолемея (см. с. 205), в котором отрезок ОА дает сторону правильного десятиугольника (докажите это). Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две,- звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т. д. (см. рисунок на с. 206).

Проведя радиусы в вершины десятиугольников, легко увидеть (именно увидеть глазами) целое созвездие пятиконечных звезд. А зная свойства последних, мы предчувствуем обилие золотых пропорций. Действительно, прежде всего заметим, что треугольник АОВ является возвышенным, поэтому АВ:ОВ = φ, т. е. сторона правильного десятиугольника а₁₀ относится к радиусу описанной окружности R в золотой пропорции а₁₀:R = φ.

Далее, считая радиус исходной окружности R = l и учитывая свойства пятиконечной звезды, легко обнаружить весь ряд золотого сечения (15.5) в последовательности вписанных друг в друга звездчатых десятиугольников. В частности, на рисунке (б) ВС = φ, ОС = фφ², поэтому ВС/ОС = 1/φ = Φ (тем самым мы погасили еще один "долг" и доказали, что на рисунке ( в, с. 202) B₁C₁/C₁A₁ = 0). Попутно мы чисто геометрическим путем доказали равенство

которое легко доказать и алгебраически, вспоминая формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

В нашем случае а₁=φ², q = φ, поэтому

Заметим, что обнаруженное нами созвездие вложенных друг в друга пятиконечных звезд позволило сразу увидеть ряд золотого сечения при десятикратном делении окружности и избавило от громоздких алгебраических выкладок.

Теперь становится понятным, почему именно десятикратное деление окружности было выбрано Месселем в качестве метода архитектурного пропорционирования. При десятикратном делении окружности легко получить весь ряд золотого сечения (15.5), который играет огромную роль в архитектурных пропорциях.

Рассмотренные нами геометрические свойства золотого сечения в числе других были с восторгом описаны в 1509 г. в книге монаха ордена францисканцев Луки Пачоли (ок. 1445 - ок. 1514) "О божественной пропорции". Пачоли приводит лишь тринадцать свойств золотого сечения (дабы почтить двенадцать апостолов и их учителя Христа), отмечая, что для перечисления всех свойств золотого сечения не хватило бы чернил и бумаги. Каждому свойству золотого сечения Пачоли ставит особый эпитет, говоря "...о его третьем исключительном свойстве... о его четвертом невыразимом свойстве... о его десятом возвышенном свойстве... о его двенадцатом почти сверхъестественном свойстве...". Пачоли преподавал в различных университетах Италии и был талантливым педагогом. Любопытно, что хорошо известная каждому современному школьнику задача о трубах, наполняющих бассейн, описана в книге Пачоли "Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях", изданной в 1494 г.

Джакопо де Барбари. Портрет Луки Пачоли. Ок. 1510. Справа изображен ученик Пачоли Гвидобальдо д'Урбино. Возможно, это автопортрет художника. В левом верхнем углу подвешен ромбокубооктаэдр - одно из тел Архимеда. Справа на старинном фолианте стоит додекаэдр

Рассмотрим теперь ряд золотого сечения (15.4)

и, пользуясь аддитивным свойством ряда, будем выражать степени Φⁿ через Φ:

Легко видеть, что коэффициенты при Φ, также как и первые слагаемые, образуют последовательность натуральных чисел:

(15.6)

каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов, т. е.

(15.7)

Последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, называются рекуррентными или возвратными.

Последовательность (15.6) имеет древнюю историю. Она впервые была описана в 1202 г. в "Книге об абаке" итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу - Фибоначчи - сын доброй природы. С тех пор последовательность (15.6) называется рядом Фибоначчи, а ее члены - числами Фибоначчи. "Книга об абаке" Фибоначчи была своего рода математической энциклопедией средневековья и сыграла заметную роль в развитии математики в Европе. Значительную часть этого трактата составляли задачи, одна из которых гласила:

"Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажется 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; ..." И т. д. В заключение Фибоначчи пишет: "...мы складываем первое число со вторым, т. е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых (пар.- А. В.) кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев".

Заметим, что свое решение Фибоначчи дал для взрослой пары кроликов. Если же решать задачу для новорожденной пары, то мы получим полный ряд Фибоначчи (15.6) и к концу года будем иметь 233 пары кроликов.

Но какое отношение задача о размножении кроликов имеет к золотому сечению? А вот какое. Если мы возьмем отношение последующего члена ряда (15.6) к предыдущему

, то весьма скоро обнаружим, что это отношение с ростом k стремится к коэффициенту золотого сечения Φ. В самом деле,

Поэтому, глядя на рисунок, нетрудно убедиться (хотя не так-то просто доказать!), что

(15.8)

и наоборот,

(15.9)

Процесс асимптотического приближения отношения U_k+1/U_k к Φ напоминает затухающие колебания маятника.

'Генеалогическое древо кроликов' в задаче Фибоначчи. Общее число пар кроликов, так же как и число новорожденных пар, образует последовательность чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Рассмотрим цепную дробь

Обозначая эту дробь через х>0, нетрудно увидеть то же самое х в знаменателе первой дроби. Поэтому

откуда находим уравнение для х:

которое имеет единственный положительный корень

Итак, коэффициент золотого сечения Φ можно представить в виде цепной дроби

(15.10)

Для ряда Фибоначчи [U_k] отношение U_k+1/U_k последующего члена ряда к предыдущему с ростом k стремится к коэффициенту золотого сечения Φ = (√5 + 1)/2

Выпишем подходящие дроби (см. с. 136) Цепной дроби (15.10):

Как видим, подходящие дроби, которые являются рациональными приближениями иррационального числа Φ, равны отношениям соседних чисел Фибоначчи Поэтому

Итак, отношение двух соседних чисел Фибоначчи является рациональным приближением коэффициента золотого сечения, т. е.

Именно таким рациональным приближением числа Φ и является интервальный коэффициент малой сексты (обращение большой терции , которым Гримм выражал отношение главных вертикалей Парфенона; см. с. 202). Другим примером рационального приближения числа Ф является отношение числа четвертей во второй и четвертой паре "проведение - интермедия" в фуге ре минор Баха (см. с. 165), которое в точности равно отношению . Еще раз обратим внимание на потрясающую точность (относительная погрешность составляет 0,06%!), с которой у Баха выполнен закон золотого сечения.

В 1843 г., через 641 год после открытия ряда Фибоначчи, определяемого рекуррентно через сумму двух предыдущих членов ряда, французский математик Ж. Бине нашел формулу для вычисления n-го члена ряда Фибоначчи как функции его номера:

(15.11)

Пользуясь формулой Бине (15.11) нетрудно доказать, что

Наконец, укажем еще одно представление коэффициента золотого сечения Φ, полученное в начале нашего века:

(15.12)

Не правда ли, все формулы (15.10)- (15.12) отличаются особой красотой, простотой и изяществом!

Боттичелли. Рождение Венеры. Ок. 1483-1484. Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его 'Венера'. Неповторимо нервное изящество боттичеллиевских линий и болезненная хрупкость его вытянутых фигур. Неповторима младенческая чистота Венеры и кроткая печаль ее взора. Неповторим льнущий к телу клубок золотых волос Венеры, в котором, как в клубке змей, таится роковое коварство этого безгрешного существа. Но для неоплатоника Боттичелли его Венера, так же как и для неопифагорейца Поликлета его Дорифор,- это воплощение идеи универсальной гармонии золотого сечения, господствующего в природе

Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом

Итак, ряд золотого сечения (15.4), (15.5) и тесно связанный с ним ряд Фибоначчи (15.6) обладают массой исключительных математических свойств, которые каким-то поразительным образом сошлись в этих феноменах. Но золотое сечение и числа Фибоначчи имеют не менее удивительные приложения не только в искусстве (с чем мы немного познакомились в гл. 4 и гл. 12), но и в живой природе. К настоящему времени накоплено множество фактов, показывающих, что ряд Фибоначчи проявляется в формах живой природы как закон единообразного роста. Ряд Фибоначчи обнаружен и в расположении семян подсолнечника или сосновой шишки, и в распределении листьев и хвои на деревьях, и в расположении стеблей. Возьмите линейку и измерьте длину трех фаланг среднего пальца и пясти. Поделив эти числа на длину первой фаланги, вы с поразительной точностью обнаружите 4 члена ряда золотого сечения (15.4):

Но самым удивительным, пожалуй, является то, что точка, питающая новую жизнь,- пуп человека - делит тело человека в золотом сечении.

Что стоит за этими и многими другими фактами - игра чисел или некоторый универсальный закон природы? Хочется верить, во второе, ибо жизнь - это не хаос случайностей, а претворение генетически определенных законов. Видимо, действием закона золотого сечения в природе и объясняются интригующие проявления этого закона в искусстве. По крайней мере, автор стоит на "природнической" точке зрения на прекрасное и в законах искусства видит отражение законов красоты природы (хотя и те и другие законы пока еще не познаны).

Почему же закон золотого сечения так часто проявляется в архитектуре? Этому есть, на наш взгляд, вполне рациональное, математическое объяснение. Мы знаем, что для достижения гармонии в произведении искусства (в том числе и в архитектурном произведении) должен выполняться принцип Гераклита: "из всего - единое, из единого - все". В самом деле, гармония в архитектурном произведении зависит не столько от размеров самого сооружения, сколько от соотношений между размерами составляющих его частей. Для того чтобы выполнялся основной принцип гармонии "все во всем", взаимосвязь частей и целого в архитектурном произведении должна иметь единое математическое выражение, т. е. архитектурное "целое" а и его части а₁, а₂, а₃, а₄, ... должны находиться в одинаковых отношениях

Отсюда a = a₁p, а₁ =а₂р, а₂ = а₃p, ..., или a₁ = qa, a₂ = q²a, a₃ = g³a, ... (q = l/p), т. е. "целое" а и его части a₁, а₂, а₃, ... должны образовывать геометрическую прогрессию

(15.13)

Но части архитектурного целого должны "сходиться" в целое, т. е., разделив "целое" а на части а₁ и а₂, необходимо, чтобы

Учитывая (15.13), условие (15.14) примет вид

т. е. единственное положительное значение для q равно коэффициенту золотого сечения φ.

Итак, из всех геометрических прогрессий (15.13) только ряд золотого сечения обладает аддитивным свойством (15.14), поэтому только при делении "целого" a на части а₁ и а₂ в золотой пропорции выполняется принцип "все во всем" и одновременно части "сходятся" в целое.

Пропорции храма Василия Блаженного в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения: 1, φ, φ², φ³, φ⁴, φ⁵, φ⁶, φ⁷

При этом соотношения (15.13) и (15.14) принимают вид (12.4)

Это и есть знакомый нам ряд золотого сечения.

Подробным анализом пропорций некоторых архитектурных шедевров разных эпох, стилей и разных народов мы займемся в следующих двух главах. Но сейчас нам хочется закончить разговор о золотом сечении одним примером, показывающим, насколько органично входит оно в архитектурные пропорции. В качестве примера рассмотрим пропорциональный строй одной из жемчужин древнерусской архитектуры - храма Василия Блаженного в Москве. За "целое" а = 1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:

Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря аддитивному свойству золотого сечения мы уверены в том, что части сойдутся в целое, т. е.

Таким образом, аддитивное свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой.