Дроби без знаменателя

Мы привыкли к тому, что без знаменателя пишутся лишь дроби десятичные. Поэтому с первого взгляда кажется, что написать прямо без знаменателя дробь 2/7 или 1/3 нельзя. Дело представится нам, однако, иначе, если вспомним, что дроби без знаменателя возможны и в других системах счисления. Что, например, означает дробь "0,4" в пятеричной системе? Конечно, 4/5. Дробь "1,2" в семеричной системе означает 1 2/7. А что означает в той же семеричной системе дробь "0,33"? Здесь результат сложнее: 3/7 + 3/49 = 24/49.

Рассмотрим еще несколько недесятичных дробей без знаменателя. Чему равны

 a) "2,121" в троичной системе? 
 b) "1,011" в двоичной системе? 
 c) "3,431" в пятеричной системе? 
 d) "2,(5)" в семеричной системе? 

 Ответы: 

 а) 2 + 1/3 + 2/9 + 1/27 = 2 15/27. 
 b) l + 1/4 + 1/8 = l 3/8. 
 c) 3 + 4/5 + 3/25 + 1/l25 = 3 ll6/l25. 
 d) 2 + 5/7 + 5/49 + 5/34з + ... = 2 5/6.

В правильности последнего равенства читатель легко может убедиться, если попробует применить к данному случаю, с соответствующим видоизменением, рассуждения, относящиеся к превращению десятичных периодических дробей в простые.

В заключение рассмотрим несколько задач особого рода:

Задача № 1

По какой системе счисления выполнено следующее сложение:

Ответ.

По восьмеричной.

Задача № 2

По какой системе счисления выполнено деление:

Ответ.

По шестеричной.

Задача № 3

Напишите число 130 во всех системах счисления: от двоичной до девятеричной включительно.

Ответ.

Число 130 в различных системах счисления выражается следующим образом:

 в двоичной        10000010 
 в троичной        11211 
 в четверичной     2002 
 в пятеричной      1010 
 в шестеричной     334 
 в семеричной      244 
 в восьмеричной    202 
 в девятеричной    154 

Задача № 4

Чему равно число "123", если считать его написанным во всех системах счисления, до девятеричной включительно? Возможно ли, что оно написано по двоичной системе? А по троичной? Если оно написано по пятеричной системе, то можете ли вы узнать, не переписывая его по десятичной системе, делится ли оно без остатка на 2? Если написано по семеричной системе, то делится ли оно без остатка на 6? Если написано по десятичной системе, то делится ли оно без остатка на 4?

Ответ.

По четверичной системе - 27: по пятеричной - 38; по шестеричной - 51; по семеричной - 66; по восьмеричной - 83; по девятеричной - 102.

Число это не может быть написано ни по двоичной, ни по троичной системе, так как содержит цифру 3, которой в этих системах нет. Число это по пятеричной системе делится на 2, так как сумма его цифр делится на 2. По семеричной системе оно делится на 6, а по девятеричной не делится на 4.