Чёт или нечет?

Не видя числа, трудно, конечно, угадать, какое оно - четное или нечетное. Но не думайте, что вы всегда сможете сказать это, едва увидите задаваемое число. Скажите, например, четное или нечетное число 16?

Если вам известно, что оно написано по десятичной системе, то вы вправе утверждать, что число это - четное. Но когда оно написано по какой-либо другой системе - можно ли быть уверенным, что оно изображает непременно четное число?

Оказывается, нет. Если основание, например, семь, то "16" означает 7 + 6 = 13, число нечетное. То же будет и для всякого нечетного основания (потому что всякое нечетное число + 6 есть тоже нечетное число).

Отсюда вывод, что знакомый нам признак делимости на 2 (последняя цифра четная) безусловно пригоден только для десятичной системы счисления, для других же - не всегда. А именно, он верен только для системы счисления с четным основанием: шестеричной, восьмеричной и т. п. Каков же признак делимости на 2 для систем с нечетным основанием? Достаточно краткого размышления, чтобы установить его: сумма цифр должна быть четной. Например, число "136" четное во всякой системе счисления, даже с нечетным основанием; действительно, в последнем случае имеем: нечетное число* + нечетное число + четное = четному числу.

^* (Нечетное число, умноженное на себя (то-есть на нечетное), всегда дает нечетное число (например, 7 X 7 = 49; 11 X 11 = 121 и т. п.).)

С такою же осторожностью надо отнестись к задаче: всегда ли число 25 делится на 5? В семеричной или восьмеричной системе число, так изображенное, не делится на 5 (потому что оно равно 19 или 21). Точно так же общеизвестный признак делимости на 9 (по сумме цифр) правилен только для десятичной системы. Напротив, в пятеричной системе тот же признак применим для делимости на 4, а, например, в семеричной - на 6. Так, число "323" в пятеричной системе делится на 4, потому что 3 + 2 + 3 = 8, а число "51" в семеричной - на 6 (легко убедиться, переведя числа в десятичную систему: получим соответственно 88 и 36). Почему это так, читатель сам сможет сообразить, если вникнет хорошенько в вывод признака делимости на 9 и приложит те же рассуждения, соответственно измененные, например, к семеричной системе для вывода признака делимости на 6.

Труднее доказать чисто арифметическим путем справедливость следующих положений:

 121 : 11 = 11 
 144 : 12 = 12  во всех системах счисления (где 
  21 X 21 = 441 имеются соответствующие цифры)

Знакомые с алгеброй легко найдут основание, объясняющее свойство этих равенств. Остальные читатели могут испытать их для разных систем счисления.

Поучительные задачи

1. Когда 2 X 2 = 100?
2. Когда 2 X 2 = 11?
3. Когда 10 - число нечетное?
4. Когда 2 X 3 = 11?
5. Когда 3 X 3 = 14?

Ответы.

1. 2 X 2 = 100, когда 100 написано по двоичной системе.
2. 2 X 2 = 11, когда написано по троичной системе.
3. 10 - число нечетное, когда оно написано по пятеричной системе, а также по системе с основанием 3, 7 и 9.
4. 2 X 3 = 11, когда 11 написано по пятеричной системе.
5. 3 X 3 = 14, когда 14 написано по пятеричной системе.

Ответы на эти вопросы не должны затруднить читателя, познакомившегося с настоящей главой "Занимательной арифметики".