Необычайная арифметика

К арифметическим действиям мы привыкли настолько, что выполняем их автоматически, почти не думая о том, что мы делаем. Но те же действия потребуют от нас немалого напряжения, если мы пожелаем применить их к числам, написанным не по десятичной системе. Попробуйте, например, выполнить сложение следующих двух чисел, написанных по пятеричной системе:

Складываем по разрядам, начиная с единиц, то-есть справа: 3 + 2 равно 5; но мы не можем записать 5, потому что такой цифры в пятеричной системе не существует: 5 есть уже единица высшего разряда. Значит, в сумме вовсе нет единиц; пишем 0, а 5, то-есть единицу следующего разряда, удерживаем в уме. Далее, 0 + 3 = 3, да еще единица, удержанная в уме, - всего 4 единицы второго разряда. В третьем разряде получаем 2 + 1 = 3. В четвертом 4 + 2 равно 6, то-есть 5 + 1; пишем 1, а 5, то-есть единицу высшего разряда, относим далее влево.

Искомая сумма = 11340.

Предоставляем читателю проверить это сложение, предварительно переводя изображенные в кавычках числа в десятичную систему.

Точно так же выполняются и другие действия. Для упражнения приводим далее ряд примеров, число которых читатель, при желаний, может увеличить самостоятельно:

Ответы.

По пятеричной системе: "1304", "1144", "2402".

По троичной системе: "2010", "10210", "110", "10"; остаток "11".

При выполнении этих действий мы сначала мысленно изображаем написанные числа в привычной нам десятичной системе, а получив результат, снова изображаем его в требуемой недесятичной системе. Но можно поступать и иначе: составить "таблицу сложения" и "таблицу умножения" в тех же системах, в которых даны нам числа, и пользоваться ими непосредственно. Например, таблица сложения в пятеричной системе такова:

С помощью этой таблички мы могли бы сложить числа "4203" и "2132", написанные в пятеричной системе, гораздо менее напрягая внимание, чем при способе, примененном раньше.

Упрощается также выполнение вычитания.

Составим и таблицу умножения ("Пифагорову"^*) для пятеричной системы:

^* (Пифагор (VI век до нашей эры) - древнегреческий философ; занимался также математикой и теорией музыки.)

Имея эту табличку перед глазами, вы опять-таки можете облегчить себе труд умножения (и деления) чисел в пятеричной системе, как легко убедиться, применив ее к приведенным выше примерам. Например, при умножении

рассуждаем так: трижды три "14" (из таблицы); 4 пишем, 1 - в уме. 1 на 3 дает 3, да еще 1, - пишем 4. Дважды три = "11"; 1 пишем, 1 переносим влево. Получаем в результате "1144".

Чем меньше основание системы, тем меньше и соответствующие таблицы сложения и умножения. Например, для троичной системы обе таблицы таковы:

Их можно было бы сразу же запомнить и пользоваться ими для выполнения действия. Самые маленькие таблицы сложения и вычитания получаются для двоичной системы:

При помощи таких-то простых "таблиц" можно выполнять в двоичной системе все четыре действия. Умножения в этой системе, в сущности, как бы и вовсе нет: ведь умножить на единицу - значит оставить число без изменения; умножение же на "10", "100", "1000" (то-есть на 2, 4, на 8) сводится к простому приписыванию справа соответствующего числа нолей. Что же касается сложения, то для выполнения его нужно помнить только одно, что в двоичной системе 1 + 1 == 10. Не правда ли, мы с полным основанием назвали раньше двоичную систему самой простой из всех возможных? Длиннота чисел этой своеобразной арифметики искупается простотой выполнения над ними всех арифметических действий. Пусть требуется, например, умножить:

Выполнение действия сводится только к переписыванию длинных чисел в надлежащем расположении: это требует несравненно меньших умственных усилий, чем умножение тех же чисел в десятичной системе (605 X Х37 = 22385).

Если бы у нас была принята двоичная система, изучение письменного счисления требовало бы наименьшего напряжения мысли (зато - наибольшего количества бумаги и чернил). Однако в устном счете двоичная арифметика по удобству выполнения действий значительно уступает нашей десятичной.

Приведем также образчик действия деления, выполненного в двоичной системе счисления:

В привычной нам десятичной системе действие это имело бы следующий вид:

Делимое, делитель, частное и остаток в обоих случаях, по существу, одинаковы, но промежуточные выкладки разные.