6. О том, чему надо учить в математике

Положение шестое. Учить надо и тому, что нужно, и тому, чему трудно научиться.

Это положение означает, в частности, что при обучении надо отобрать основные принципиальные вопросы (и это должно быть хорошо отражено в программах), которым и следует обучать в первую очередь, на которых и следует сосредоточивать внимание.

Например, в результате первого знакомства с математическим анализом студент должен научиться обращаться с функциями, заданными формулами, научиться видеть их поведение в точках, на промежутках, должен научиться выделять их главную часть, отбрасывать не существенные в рассматриваемом вопросе добавки, т. е. овладеть формулой Тейлора - все это основа математического анализа. Если студент овладеет этим, то он будет уметь и вычислять пределы, и находить асимптоты, и строить графики, и исследовать сходимость и ее скорость у рядов и интегралов, и вычислять приближенно интегралы, значения функций, суммы рядов и т. д. и т. п. Нередко вместо этого основного метода, вместо основного инструмента исследования функций - формулы Тейлора, в курсе математического анализа изучаются, и притом частично без доказательств, цепочки теорем, которые студент, заучивая на интуитивном уровне, путает их затем на экзаменах и бывает не в состоянии использовать в своей дальнейшей практической деятельности. К сожалению, это часто связано с тем, что формула Тейлора занимает в учебниках и программах положение бедного родственника. Мне представляется, что здесь, по существу, делается не тот акцент, который следовало бы: основы заменяются надстройкой.

Случается, что в процессе преподавания уделяется незаслуженно много времени хотя и нужным, но простым вещам. Поясним это сначала на не математическом примере. Когда после окончания школы человек поступает на работу, то выясняется, что нередко он не имеет даже представления о том, как написать заявление о приеме на работу и требуемую автобиографию. В связи с этим в печати высказывались предложения о том, что не плохо было бы в средней школе ввести (не помню точно, годовой или полугодовой) предмет "канцеляроведение". Безусловно, то, что оканчивающий школу не знает, как написать заявление и автобиографию, очень плохо, но вводить ради этого предмет канцеляроведения более чем неразумно - этому можно научить между делом: достаточно раза два в год потратить на это несколько минут.

С подобной ситуацией мы часто встречаемся и при преподавании математики. Высказывается, например, категорическое мнение о том, что при вычислении определенного интеграла выражение, содержащее обратные тригонометрические функции и радикалы, не является ответом для инженера, поэтому при решении подобных задач ответ всегда надо доводить до числа, записанного десятичной дробью. В связи с этим высказывается рекомендация обращать особое внимание в процессе преподавания математики на запись в виде десятичных дробей окончательного результата, полученного при решении задачи. Посылка здесь также верна (инженеру нужен ответ в виде десятичной дроби), вывод же вызывает возражение. Пользоваться таблицами учат детей еще в школе. Конечно, возмутительно, если студент высшего технического учебного заведения не может по таблице найти значение арктангенса или произвести с помощью логарифмической линейки или миникомпьютера нужные действия, но надо отдавать себе отчет в том, что не этим надо заниматься во втузе, изучая математику. Безусловно, студент должен уметь это делать, а если, паче чаяния, не умеет, то между прочим его надо научить и этому, не делая из этого события и не считая это целью обучения по математике во втузе.

Попутно заметим, что при обучении студента численному решению задач и воспитании у него уважения к численному ответу решения следует значительно шире, чем это делается, использовать численное решение практических задач на смежных кафедрах, особенно таких задач, в которых величина численного значения ответа имеет принципиальное значение для изучения рассматриваемого явления (например, получится дозвуковая скорость или сверхзвуковая).

Новые сложности в вопросе "чему учить" появились в последние десятилетия в связи с бурным развитием быстродействующей вычислительной техники. Для того чтобы уметь правильно ее использовать, а без этого немыслима работа большинства современных специалистов (научных работников, конструкторов, инженеров и т. д.), надо хорошо знать не только элементы программирования и уметь обращаться с программами для ЭВМ, как школьник умеет обращаться с тригонометрическими таблицами, не только уметь использовать компьютеры (в том числе и мини-компьютеры), как раньше студент использовал логарифмическую линейку, но и понимать, что значит математически грамотное описание задачи, как надо корректно поставить математическую проблему, как правильно подойти к ее решению, какие существуют методы ее численного решения, какой из них целесообразнее выбрать в данном случае, какие качественные исследования возможно и полезно провести при заданных условиях, не прибегая к помощи компьютеров. Все это в зависимости от рассматриваемой задачи требует более или менее серьезных математических знаний и, значит, соответствующего в определенном смысле серьезного классического математического образования.

На первых этапах обучения общению с вычислительной машиной и ее использованию для решения задач необходимо возникает потребность в знакомстве с элементами теории множеств и математической логики. К сожалению, иногда это принимается за самоцель, а все дальнейшее вышеуказанное математическое образование считается излишним (при этом случается, что изучение элементов математической логики и конечной математики проводится иногда на элементарном наукообразном уровне или, наоборот, принимает излишне гипертрофированные размеры). Подготовка таким методом специалистов является большим злом.

Отдавая себе отчет в том, что отдельный пример не является доказательством, все же приведу один случай, который однажды произошел с Л. А. Люстерником и который он любезно разрешил здесь рассказать.

Несколько лет назад он был приглашен консультантом в один институт, и первая задача, с которой он столкнулся, состояла в табулировании значений одного трехкратного интеграла (если мне не изменяет память) от функции, зависящей еще от нескольких параметров. Были уже составлены программы для вычисления соответствующих таблиц, осуществление счета по которым должно было занять около полугода работы на ЭВМ типа "Стрела".

Л. А. Люстернику показалось, что рассматриваемый интеграл напоминает ему что-то встречавшееся в теории функций Бесселя. Через два-три дня ему действительно удалось, используя аналогии с преобразованиями интегралов в указанной теории, свести злополучный интеграл к однократному, вычисление нужных значений которого на той же "Стреле" потребовало меньше суток! Экономический эффект от использования этого предложения был огромен.

Этот случай является, конечно, красноречивым примером важности математического мастерства и общей математической культуры, примером того, как много может дать правильное использование аналитических методов, примером настоящего математического образования.

Следует помнить, что обучение матиматике, обу* чение владению математическими методами должно быть направлено на две цели: на обучение определенным алгоритмам и на обучение поиску. Безусловно, что в основу преподавания математики следует положить обучение имеющимся в соответствующей области законченным алгоритмам решения задач, например, методу выделения главной части функции в анализе, методу исключения переменных при решении линейных систем уравнений, тому или иному методу решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, определенным разностным методам численного приближенного решения дифференциальных уравнений и т. д. и т. п.

К сожалению, а может быть, и к счастью, применение математики не сводится полностью к использованию заранее разработанных алгоритмов. Нередко для успешного использования математики при решении новых задач надо проявить определенную долю фантазии, искусства в аналитических преобразованиях, проявить определенную изобретательность, т. е. проявить черты, неотъемлемо входящие в понятие математической культуры. Этому также надо где-то учить, и научить этому, безусловно, гораздо труднее, чем научить использованию готовых алгоритмов.

В связи с этим нельзя не вспомнить неоднократно делающиеся в адрес математиков упреки, что они обучают студентов никому не нужной технике вычисления неопределенных интегралов и интегрированию в конечном виде специально подобранных дифференциальных уравнений, что все это анахронизм, поскольку если им в их дальнейшей практике встретится подобная задача, они просто воспользуются имеющимися справочниками. Я думаю, этот упрек несправедлив.

Здесь будет уместно вспомнить, что хорошо известный экзаменационный минимум, который требовал Л. Д. Ландау от желающих стать его учениками, включал в себя экзамен по математике, в который в обязательном порядке входило вычисление неопределенных интегралов. Вне всякого сомнения, Л. Д. Ландау отдавал себе полный отчет в том, что в своей работе его ученикам не придется заниматься вычислением интегралов, ибо если это им и потребуется, они скорее всего используют готовые таблицы.

Все дело в том, что где-то студента, изучающего математику, необходимо научить основным элементам аналитических преобразований, умению проявлять в них изобретательность, развить определенное аналитическое чутье, и вычисление несобственных интегралов, а затем решение дифференциальных уравнений в квадратурах дают для этого достаточно простой и вместе с тем достаточно содержательный материал. Неизвестно, чем это можно было бы заменить с тем же эффектом полезности.

Заменить обучение искусству аналитических преобразований обучением пользоваться соответствующими справочниками, безусловно, нецелесообразно - последнее не предмет для обучения, хотя, конечно, в процессе обучения весьма полезно показать, как пользоваться справочной литературой. При этом, однако, не следует забывать, что использование всякого рода справочников предполагает определенный уровень знаний: надо знать, что надо искать, что можно найти и где это можно найти.

Заканчивая разъяснение шестого положения, обратим внимание на существующую большую опасность в тенденции, которая, прикрываясь модернистским лозунгом "классическая математика устарела!", стремится заменить профессиональный уровень обучения математике знакомством с примитивными методами численного решения задач на ЭВМ и попытками математического моделирования сложных задач. Конечно, и это нужно и важно, более того, имеется и такой уровень обучения, где этим можно и ограничиться, но нужно отдавать себе отчет в том, что этого недостаточно там, где требуется серьезное профессиональное использование математических методов.

Стремление заменить углубленное прохождение материала поверхностным знакомством с ним, пренебрежение к преодолению принципиальных трудностей, которые необходимо преодолеть для приобретения профессиональных знаний, и замена главных путей побочными, не ведущими к той же цели, а приводящими к качественно более низкому уровню обучения, является одной из очень вредных тенденций, возникающих в системе высшего образования.