7. О теоремах существования

Положение седьмое. Теоремы существования необходимы для математического образования специалистов в области приложения математики.

Этот тезис имеет значительно более частный характер, чем все остальные, однако представляется необходимым сформулировать его в ряду остальных, так как вопрос о включении в курс математики так называемых "чистых теорем существования" вызывает очень большое число нападок со стороны потребителей математики. В первой главе уже говорилось о том, что это часто происходит от непонимания того, что математическая модель не адекватна конкретному явлению, для описания которого она применена. И поскольку из существования решения реальной задачи (будь она физическая, химическая, социологическая, экономическая, лингвистическая, биологическая или какая-либо еще) не следует существование решения соответствующей математической задачи, то именно поэтому, а вовсе не из любви к логике, доказывают математики в этом случае теоремы существования и математически обосновывают свои заключения.

Доказательство теорем существования служит своеобразной проверкой, математическим экспериментом, дающим оправдание изучению рассматриваемой модели для данного явления. Если удается доказать теорему существования, единственность решения и корректность самой- постановки задачи, то, как правило, создается объективная уверенность в том, что исследования проводятся в правильном направлении. Значение этого трудно переоценить: успех в работе в первую очередь определяется правильным пониманием задачи и правильной ее постановкой. Поясню это на примере еще одного анекдота.

Однажды после долгой разлуки встретились два старых приятеля, и один говорит другому:

- Знаешь, у меня открылся новый талант, я оказался телепатом и могу внушить каждому все, что захочу, и он беспрекословно выполнит мое мысленное приказание.

- Ну да?! - с сомнением сказал его приятель.

- Хочешь докажу? Дай мне любое задание, и сам убедишься, что я могу! - настаивал первый.

- Хорошо, - согласился его знакомый. - Видишь, впереди идет девушка. Внуши ей, чтобы она оглянулась на нас.

- С удовольствием, - ответил тот, напряженно посмотрел вслед девушке, и та действительно оглянулась на приятелей и даже улыбнулась.

- Вот это здорово, - изумился приятель телепата. - А впрочем, - немножко подумав, заметил он, - причем тут твоя телепатия? Шла веселая девушка, ей было скучно, она смотрела по сторонам, посмотрела и на нас.

- Хорошо, - раздраженно сказал телепат. - Вот, видишь, по мосту идёт старичок? Хочешь, я внушу ему, чтобы он снял ботинок и бросил его в реку?

- Ну, если ты это сделаешь, я поверю, - был ответ.

Телепат сосредоточился и, о чудо, старик остановился, нагнулся, снял ботинок и, удивляясь на себя, что он делает, бросил ботинок в воду.

- Вот это да! - изумленно протянул приятель телепата. - А впрочем, - задумчиво начал он, - мало ли сумасшедших бродит по городу, может быть, и старичок один из них. А что не придет сумасшедшему в голову! Причем тут твоя телепатия?

- Ах, вот как! - совсем рассердился телепат. - Ты все еще сомневаешься? Сейчас ты убедишься, на что я способен. Смотри, видишь налево многоэтажный дом. Укажи мне любое окно в этом доме, и тому, кто там живет, я прикажу открыть окно и выбросить свой телевизор на улицу.

- Ну, если ты это сделаешь, я, конечно, не буду больше сомневаться, - отозвался его приятель. - Давай выберем на третьем этаже второе окно слева.

Телепат остановился, поднапрягся. Увы, окно не открывалось, никто не пытался выбросить телевизор. Телепат нахмурился, сосредоточился, еще раз напрягся и, о чудо! Кто-то появился в окне, распахнул его и закричал:

- Ну, что ты ко мне привязался! Никакого телевизора у меня нет!

Мы видим, что самый надежный алгоритм оказывается бессильным, если не выполняются условия теоремы существования!

Возвращаясь от шутки к рассмотрению вопроса по существу, заметим, что с помощью теорем существования, доказательства которых имеют неэффективный характер, иногда удается получать решения задач в виде тех или иных математических формул, (Удобных для получения приближенных решений посредством прямых вычислений, проводимых по этим формулам.

Рассмотрим, например, задачу о вычислении корня из положительного числа. Пусть задано число а>0. Зафиксируем произвольным образом число х₀>0 и для n=1, 2, 3, ... положим

Нетрудно убедиться, что последовательность х_n, n=1, 2, ..., монотонная, именно строго убывающая, а поскольку она ограничена снизу

х_n>0, n=1, 2, ..., (2)

то согласно теореме Вейерштрасса о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности, последовательность {х_n} имеет конечный предел. Обозначим его через х. Переходя к пределу в равенстве (1), получим

Отсюда

х²=а,

а так как в силу (2) х≥0, то

х=√а.

Теорема Вейерштрасса является чистой теоремой существования. Известные методы ее доказательства не дают способа приближенного нахождения пределов ограниченных монотонных последовательностей. Более того, в конструктивном анализе доказывается, что существуют монотонные последовательности, для которых заведомо не существует алгоритма, с помощью которого можно было бы найти их предел с любой наперед заданной точностью (такие последовательности в конструктивной математике не являются сходящимися).

Таким образом, применяя теорему о существовании предела у ограниченной монотонной последовательности, удается получить рекуррентную формулу (1) для приближенного вычисления корней. Эта формула очень удобна для применения на практике: она имеет простой вид, и получающиеся по ней последовательные приближения хп значений квадратного корня из числа а весьма быстро стремятся к самому значению квадратного корня из а.

Следует, однако, напомнить, что часто случается, что мы не умеем доказывать теоремы существования для изучаемых нами задач, но тем не менее нам удается находить их численные приближенные решения, строя для этого те или иные численные алгоритмы, часто даже не умея доказывать их сходимость, не говоря уже о получении оценки погрешности. Так действительно бывает, но не следует это возводить в правило; это, как мы говорили выше, просто вынужденная необходимость, а не необходимая закономерность. Существует немало и других ситуаций, где из попыток численного решения рассматриваемых задач ничего не получается. В таких случаях качест* венные исследования вопросов существования и единственности решения, корректности постановки задачи могут оказать существенную помощь и иметь решающее значение для успеха проводимого исследования.

Вернемся теперь снова к более общим вопросам преподавания математики.