5. О методических принципах преподавания математики

Когда определена цель обучения, возникает естественный вопрос: а как ее достичь? Какова должна быть методика преподавания?

Этот вопрос как никакой другой является объектом критики как внутренней со стороны самих математиков, так и внешней со стороны специалистов, в той или иной мере использующих математические методы. Весьма часто даже внутри одной кафедры математики бывает очень трудно договориться об едином методе изложения того или иного материала (впрочем, это далеко не всегда и нужно).

Сложность ситуации и причина трудности ее устранения связана с тем, что, во всяком случае в настоящее время, методика преподавания математики еще не достигла научного уровня и основывается лишь на несистематизированном опыте отдельных преподавателей (к сожалению, многие ограничиваются лишь личным опытом) и на вере их в собственную правоту и непогрешимость. Во всех методических дискуссиях особо остро проявляется непримиримость и нетерпимость к другим точкам зрения, как это всегда бывает там, где в основе лежит догма и вера. Много несерьезных вещей говорилось и говорится солидными и серьезными людьми по поводу методов обучения математике. Не будем приводить соответствующих цитат, дабы не обидеть их авторов, а постараемся сформулировать (на интуитивном уровне) некоторые основные принципы методики преподавания математики.

Положение пятое. Преподавание математики должно быть по возможности простым, ясным, естественным и базироваться на уровне разумной строгости.

Поскольку этот тезис каждый может понимать со своей точки зрения и вкладывать в него тот смысл, который ему хочется, то постараемся пояснить несколько детальнее, что здесь имеет в виду автор.

Тезис о простоте изложения означает прежде всего простоту построения курса в целом, такую его структуру, при которой делаются акценты на главные принципиальные идеи, и большая часть времени и внимания уделяется основным методам и фактам, ради которых читается данный курс. Вспомогательное и второстепенное должно явным образом занимать подчиненную роль и не требовать усилия для своего усвоения. Так, например, хотя теория вещественного числа является базисом математического анализа, в технических высших учебных заведениях нецелесообразно уделять ей много времени, так как она в этом случае является вспомогательной, а не основной частью курса математики.

Далее," при изложении какого-либо вопроса при прочих равных условиях следует отдавать предпочтение тому из способов, который проще. Конечно, появляются сразу разные "но". Поясним это на примерах. Более простым разумно считать то доказательство, которое естественно, а не искусственно. Безусловно, эти понятия относительны. По остроумному замечанию Полна и Сеге (Г. Полиа, Г. Сеге, Задачи и теоремы из анализа, Гостехиздат, М., 1956)), способ, примененный первый раз, является искусственным приемом, он же, примененный второй раз, делается методом. Добавим еще, что, как правило, следует отдавать предпочтение прямым доказательствам, а не от противного, и рассуждениям, основанным на непосредственном использовании определений и известных теорем, без привлечения дополнительных конструкций, При этом разбор по существу имеющейся ситуации, анализ отдельных случаев, которые могут встретиться, хотя и бывает громоздок, но более доходчив, нагляден, легче усваивается и позволяет лучше осознать суть дела, хотя и не всегда так изящен, как искусственный прием. Наконец, предпочтительнее выбирать те методы и те доказательства, которые допускают дальнейшее обобщение.

Самыми распространенными упреками в адрес методики преподавания математики является обвинение педагогов-математиков в пренебрежении интуицией, в преподавании математики в виде формальной цепочки логических умозаключений и доказательств, проводимой с никому, кроме самих математиков, не нужной логической строгостью, приводящей лишь к торжеству "над здравым смыслом", к схоластике. Иногда высказывается прямое сомнение в необходимости проведения доказательств (М. Клаин, Логика против педагогики, Сборник научно-методических статей по математике, вып. 3, "Высшая школа", М., 1973)) при обучении математике тех, кто интересуется лишь ее применениями. Утверждается, что доказательства математики проводят для собственного удовольствия, и со ссылкой на авторитеты говорится, что строгие логические доказательства еще никогда и ни в чем никого не убеждали, что достаточно разъяснить студенту то или иное математическое положение на интуитивном уровне, чтобы он смог его успешно применять. Любопытно отметить, что все эти высказывания делаются обычно по поводу курса математики в высшей школе, а то, что в школьном курсе элементарной математики присутствуют леммы, теоремы и их доказательства, не вызывает таких возражений.

Другое соображение, высказываемое противниками доказательств, состоит в том, что при практическом использовании математики далеко не всегда приходится пользоваться доказанными математическими фактами. Так, например, до сих пор теоретически задача Ньютона о трех телах полностью не изучена, а космические аппараты успешно летают. Говорится, что на вычислительных машинах решаются с нужной степенью точности уравнения, когда не только не удается оценить скорость сходимости применяемого вычислительного процесса, но даже и просто доказать его сходимость. Указывается на успех использования при численных решениях задач интуитивных соображений и эвристических методов.

Все это, конечно, справедливо. Безусловно, интуитивные подходы и эвристические методы целесообразны и всегда оправданы, когда они приводят к результатам, хорошо согласующимся с реальными явлениями и удовлетворяющим практическим потребностям. Изучение и развитие эвристических методов является очень важной и нужной задачей. Однако надо отдавать себе отчет в том, что использование математических методов при отсутствии четкой математической модели и ее, теории обычно является вынужденной необходимостью, а не тем, что хотелось бы и что нередко нужно было бы иметь. С таким же успехом можно привести примеры задач, при решении которых численные и эвристические методы не дают нужного результата; попытки их применения порождают расходящиеся процессы, а отсутствие теории не позволяет выяснить причину этого. В результате остается даже неизвестным, как подступиться к этим задачам.

Высказывается также соображение, что поскольку сами математики отличаются друг от друга не умением проводить более или менее строго доказательства, а своей интуицией (точнее, в частности, и своей интуицией), то это также говорит о несущественности строгости доказательств, о важности интуиции и достаточности правдоподобных рассуждений (не будем придираться к логической стройности подобных умозаключений и ограничимся их восприятием на интуитивном уровне).

Пожалуй, наиболее важный и принципиальный довод противников строгих логических доказательств состоит в том, что никакое открытие в той же математике не делается строгим логическим путем, а прежде всего основывается на интуитивных соображениях, правдоподобных рассуждениях, фантазии и предвидении конечного результата из каких-либо общих или конкретных соображений.

Все это верно. Математики и сами прекрасно это понимают. Однако одним из характерных приемов критики (присущей, конечно, не только критике, направленной на существующее преподавание математики) является обвинение кого-либо в трех грехах, которых на самом деле у него нет, но которые удобно, легко и приятно критиковать. Это и относится, например, к обвинению математиков в пренебрежении интуицией. Думаю, что никто и никогда из математиков не оспаривал важности и необходимости развития математической интуиции, без которой нельзя не только сделать научного открытия, но и нельзя, как правило, решить новую практическую задачу. Никто из математиков не станет протестовать против возможности и необходимости использования физической интуиции при математическом решении задачи, особенно в случае надежности математической модели соответствующего явления.

Математик логически обосновывает свои утверждения вовсе не из-за увлеченностью строгостью рассуждений, не для того, чтобы противопоставить математику другим наукам и подчеркнуть, что только в математике мы имеем дело с логически обоснованными утверждениями, а в силу объективной необходимости, в силу того, что логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют собой метод математики, без них математика немыслима.

Как это ни странно, но многие не понимают объективной необходимости логических рассуждений, упрекая математиков в том, что они учат не той математике, которая нужна. На это можно лишь ответить, что математика не сводится к логике, но без логики нет математики. Поэтому не вполне прав М. Клайн, говоря: "Математика -это женщина, а логика - ее одежда" (см. сноску на стр. 68), поскольку математика немыслима без логики. Одеждой математики скорее можно назвать внешнюю форму записи математических фактов, представляющую собой удручающе однообразную (особенно для несдециалиста) цепочку логических символов. Эти символы действительно являются лишь внешним отражением сущности математики, подобно тому как нотная грамота - отражением музыки.

Почти все математики (точнее, это означает - все, за исключением конечного числа их) хорошо понимают, что чрезмерно формальное изложение математических курсов в виде безупречно логически стройной цепочки определений, лемм и теорем, без рассмотрений примеров и без приложений к решению задач может быть уподоблено (во всяком случае для будущих специалистов по приложениям математики) изучению музыки с помощью лишь одной нотной грамоты без воспроизведения музыкального звучания. Безусловно, при обучении математике надо обучать умению интуитивно предвидеть окончательный результат прежде, чем он будет получен, и умению проводить правдоподобные и эвристические рассуждения, и развивать математическую интуицию.

Поэтому важность развития, математической интуиции на основе приобретаемых математических знаний в процессе обучения математики была специально подчеркнута при определении целей преподавания математики, в четвертом положении.

Конечно, бывают случаи, когда при использовании математических методов не нужны правдоподобные рассуждения и сразу можно использовать "строгие" математические методы. Такая ситуация может иметь место, когда для рассматриваемой задачи имеется вполне определенный четко разработанный алгоритм и по каким-либо причинам известно, что именно его следует применить в данном случае. Впрочем, не лишне заметить, что эти "какие-либо" причины нередко и оказываются основанными на правдоподобных рассуждениях.

Все сказанное нисколько не противоречит необходимости проведения логических доказательств. Логические доказательства помогают выработать у студента необходимые для использования математического аппарата навыки, помогают овладеть математическими методами, приобрести нужную для их грамотного применения математическую культуру, составной частью которой является логическое мышление. Часто доказательство помогает лучше осознать границы применимости рассматриваемого математического аппарата и тем самым предостеречь от возможных ошибок в его использовании.

Не следует забывать о том, что интуиция иногда и обманывает. Хорошо известен исторический пример с Лейбницем (Н. Бурбаки. Функции действительного переменного. Элементарная теория, "Наука", М., 1965, стр. 190. Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, ИЛ, М., 1963, стр. 200)), долго обсуждавшим вопрос о том, не является ли производная произведения функций равной произведению их производных. Вряд ли здесь найдется лучший способ выяснения истины, чем проведение прямого доказательства соответствующей формулы. Был период, когда считалось интуитивно очевидным, что всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Выяснение действительной ситуации является не вопросом формальной строгости, а существом дела. Непрерывные не дифференцируемые функции не измышление математиков, ибо, например, скачкообразные изменения скорости могут иметь место и в математических моделях реальных физических явлений. Впрочем, не нужно забывать и о том, что все зависит от точного смысла понятия производной, ибо, если производную понимать как производную обобщенной функции, то все непрерывные функции действительно дифференцируемы.

Проиллюстрируем полезность и необходимость строгого доказательства еще на одном историческом примере. Коши, рассуждая недостаточно четко, делал вывод, что всякий сходящийся ряд непрерывных функций имеет своей суммой непрерывную функцию. После приведения примера, опровергающего это утверждение, наиболее простым способом получения правильного утверждения является превращение правдоподобного рассуждения Коши в доказательство с помощью введения понятия равномерной сходимости ряда (любопытно заметить, что впервые понятие равномерной сходимости было введено английским физиком Дж. Стоксом и независимо от него немецким математиком Зейделем в 1847-1848 гг. (Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, ИЛ, М., 1963, стр. 208, 215)).

Рассмотренные примеры хорошо показывают, что проведение доказательства позволяет убедиться в справедливости сделанного утверждения, показывают его закономерность и естественность. Этим свойством обладают все доказательства, причем тем больше, чем более они естественны, чем менее они искусственны. Однако, как это отмечалось выше, следует отдавать предпочтение прямым доказательствам перед доказательствами от противного, хотя логически они и равноправны, просто потому, что при решении практических реальных задач приходится исходить из того, что есть, а не из того, чего нет. Отметим, кстати, что все алгоритмические доказательства являются прямыми.

Другое достоинство доказательств состоит в том, что они помогают раскрыть смысл вводимых математических понятий, помогают овладеть ими и, следовательно, правильно использовать их на практике. Так, например, доказательство того, что во внутренней точке экстремума производная, если она существует, равна нулю, основанное на аналитическом определении производной, помогает раскрыть его смысл, освоить его. В свою очередь доказательство теоремы Ролля, основанное на указанном свойстве точек экстремума", помогает лучше понять последнее и запомнить его и т. д. и т. п.

Из сказанного видно, что доказательства, помогая усвоить логическую структуру математического курса, установить связь между отдельными его частями, существенно облегчают его запоминание и усвоение по сравнению с рецептурным методом изложения. Важно, что при проведении доказательств демонстрируется применение математических идей, понятий, математического аппарата в действии, т. е. происходит обучение учащегося самому важному: умению проводить решение задачи математическими методами. Не следует забывать и о том, что логическое обрамление является неотъемлемой частью процесса решения любой задачи с применением математики, в том числе и при использовании готовых алгоритмов.

Безусловно, бывают такие ситуации, когда при приобретении учащимся достаточно высокой математической культуры по тем или иным причинам оказывается более целесообразно ознакомить его с некоторым утверждением, не приводя его доказательство, а лишь разъяснив в определенной степени его смысл. Однако на первом этапе обучения это явно не желательно и не целесообразно.

Подчеркнем, что доказательство математического утверждения на основании каких-то посылок неотъемлемо содержит логический анализ связи исходных данных с рассматриваемым утверждением. Эта мысль подчеркнута Ж. Дьедонне в предисловии к его "Линейной алгебре и элементарной геометрии": "Большое воспитательное значение для рассудка имеет поиск экономии средств и приспособление гипотез к заключениям" (Ж. Дьедонне, Линейная алгебра и элементарная геометрия, "Наука", М., 1972, стр. 18)). Эта сторона математики тесно связана с косвенной пользой, которую приносит ее изучение, совершенствуя общую культуру мышления, о чем говорилось в конце первой главы.

Само собой разумеется, что, прибегая к "строгим доказательствам", надо держаться в разумных пределах, не стремясь всегда сводить все к аксиомам, помнить, что понятие строгости является относительным и историческим. Уровень строгости при изложении математических методов определяется потребностью практики в широком смысле этого слова.

Так, например, при определении непрерывной функции, как такой функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги или мела от доски (это дает определенную информацию о рассматриваемом объекте), тот факт, что всякая непрерывная функция, принимающая значения разного знака на концах отрезка, в некоторой его точке обращается в нуль, по-видимому, не следует доказывать, считая, что он непосредственно наглядным образом вытекает из определения. При классическом же определении непрерывной функции тот же факт следует доказать на "общепринятом" уровне строгости. Кавычки здесь поставлены потому, что, если к допустимым логическим рассуждениям подойти в определенном смысле более строго, а точнее, с позиций конструктивной математики, то для высказанного утверждения можно будет построить противоречащий пример, т. е. построить функцию, непрерывную на отрезке, принимающую на его концах значения разного знака и ни в одной его точке не обращающуюся в нуль. Этот неожиданный результат объясняется тем, что, образно говоря, в конструктивной математике другие "правила игры", чем в классической.

К сожалению, и это, по-видимому, неизбежно, даже внутри одного математического курса отдельные его части приходится излагать на разном уровне строгости. Так, в начале анализа понятие производной, признаки экстремума, свойства непрерывных и дифференцируемых функций вполне можно излагать на уровне "классической строгости", заботиться о том, чтобы в формулировках доказываемых теорем не было лишних предпосылок, и подтверждать это соответствующим анализом. При переходе к функциям многих переменных ситуация резко меняется. Ввиду сложности рассматриваемых объектов здесь не всегда разумно доказывать теоремы при минимальных предположениях - загрубление предпосылок часто существенно упрощает доказательство и проясняет суть дела. Например, теорему о неявных функциях значительно проще, а потому и целесообразнее, доказывать для непрерывно дифференцируемых, а не просто дифференцируемых функций.

Меняется, обычно при рассмотрении функций многих переменных, и уровень строгости проводимых рассуждений. Для функций одной переменной доказательства теорем общего курса анализа можно без труда проводить по четким логическим схемам, прибегая к наглядным представлениям лишь для их иллюстрации. Для функций же многих переменных наглядные представления являются иногда основой рассмотрения, как, например, понятие ориентации поверхности по "правилу штопора" при изучении теории поля (логически строгое изложение этого вопроса потребовало бы слишком много времени и усилий, неоправданных в высшем техническом или другом подобном высшем учебном заведении). Это неизбежно, не следует этого бояться и стремиться к обязательному построению всего курса математики на уровне логической строгости изложения начал анализа. Хорошо и то, что эти начала так удается изложить, а чтобы удержаться на таком уровне в течение всего курса, прежде всего не хватит часов, отводимых на математику, да, кроме того, это часто и нецелесообразно даже при наличии времени.

При построении математического курса нельзя ограничиться заботой только о его внутренней логической стройности, сведя его, пусть даже к безупречной, формальной логической последовательности определений, лемм, теорем и их доказательств. Необходимо уделять достаточно большое внимание разъяснению понятий, в том числе и на интуитивном уровне, рассмотрению иллюстрирующих примеров, демонстрации применения изучаемых методов на решении частных задач и всевозможным "лирическим отступлениям". Надо всегда помнить, что когда мы учим математике студентов, которые в силу своей природной склонности избрали своей будущей специальностью не математику, то следует особенно тщательно отбирать лишь тот материал, который необходим для них, который им доступен и который может быть ими усвоен за тот промежуток времени, который на это отводится, наконец, тот, на котором можно воспитать у них нужную им математическую культуру, о коей говорилось при обсуждении целей преподавания математики (см. п. 4 этой главы).

Несмотря на кажущуюся очевидность сказанного выше в защиту целесообразности использования при изучении математики строгих логических рассуждений, в частности, четких логических доказательств формулируемых утверждений, далеко не все согласны с этим. Существует мнение, что для потребителей математики не является необходимым знакомство со строгими определениями математических понятий, что целесообразно вводить их "наглядно", ограничиваясь лишь интуитивным уровнем. Это совсем не простой вопрос. Когда мы хотим познакомить ребенка с понятием "стул", то, конечно, самое разумное не давать ему логического определения этого понятия, а просто показать стул. Однако когда заказывается изготовление стула мастеру, то для того, чтобы изготовленный стул совпал с желанием заказчика, приходится составлять достаточно детальное его описание. Подобно этому обстоит дело и с математическими понятиями. В тех вопросах, где математический язык применяется лишь для описания явления (как, например, термин график при графическом изображении работы сердца на кардиограмме), о математических понятиях можно говорить любую чепуху либо ничего не говорить - это не имеет никакого значения и не может повлиять на дальнейшее. Так, врач-кардиолог, использующий кардиограмму для изучения сердца больного, не имеет нужды знакомиться с понятием функции, ибо знакомство с этим понятием не даст ему больше полезной информации о состоянии сердца пациента.

В тех же случаях, когда употребленное абстрактное понятие приходится использовать по существу, наглядное представление о нем может лишь предворить его четкое определение, но не заменить его.

Другой пример. Если дельта-функция Дирака употребляется лишь для описания некоторого физического понятия, скажем, мгновенной силы, то ничего не случится, если сказать, что дельта-функция - это обычная функция, равная нулю во всех точках, кроме одной, где она равна бесконечности, причем интеграл от этой функции равен единице. Все это, конечно, непонятно с точки зрения математики, в частности здесь неприменимо понятие обычного интеграла, определяемого как предел интегральных сумм, или более общего понятия несобственного интеграла. Однако поскольку здесь дельта-функция является просто "математическим описанием" мгновенной силы, то все сказанные слова, несмотря на отсутствие в них математического смысла, не приводят к недоразумению. Если же с понятием дельта-функции придется работать, применять его в теоретических исследованиях, то подобное представление о дельте-функции может привести к появлению ошибок, и потому целесообразнее добавить пару дополнительных фраз, проясняющих суть дела (которые физики, как это не странно, очень не любят говорить). Например, сказать, что мгновенная сила - это идеализация реального явления, что в действительности действует некоторая дельта-эпсилон сила в течение промежутка времени длительности эпсилон. Если эта сила сообщает то же количество движения (для определенности равное единице), что и рассматриваемая "мгновенная" сила, то по определению полагается, что интеграл от мгновенной силы, т. е. от дельта-функции, равен пределу обычных интегралов от "размазанных" дельта-эпсилон сил, когда эпсилон стремится к нулю. После этого все делается ясным и понятным. Конечно, в зависимости от дальнейшего использования понятия дельта-функции может потребоваться и более полное описание ее свойств и связей с другими математическими объектами вплоть до современной теории обобщенных функций.

Там, где математика применяется как метод исследования, интуитивных представлений об основных понятиях обычно оказывается недостаточно. Более того, и это очень важно, использование математических понятий без точного понимания их смысла, а, как говорят, на интуитивном уровне, может привести к прямым ошибкам. Об этом уже говорилось при обсуждении четвертого положения. Следует всегда помнить, что когда математика применяется в качестве аппарата, в качестве инструмента исследования, то для успешного проведения последнего необходимо, как правило, четкое представление об используемых при этом математических понятиях. Важно подчеркнуть, что это представление не зависит от "места действия" - оно одно и то же как в университете, так и в техническом высшем учебном заведении. Автору приходилось слышать, что во втузах более просто излагают формулу конечных приращений Лагранжа, используя соответствующий чертеж, а в университете поступают хуже, проведя все рассуждения чисто аналитически. Такое противопоставление неправильно. Тот, кто изучает формулу Лагранжа, должен, конечно, понимать как смысл ее аналитического выражения, так и геометрическую интерпретацию последнего. Понимать одно и не понимать другое значит не понимать вовсе.

Только при наличии указанных четких представлений об используемых математических понятиях может быть объективная уверенность в правильности сделанных выводов. Для того чтобы применять математику как метод исследования, весьма важно осознать и хорошо освоить сущность и взаимосвязь ее основных идей и понятий. В этом случае можно смело использовать правдоподобные рассуждения, ибо они надежны только, если базируются на истинном знании. Строить же все обучение математики на правдоподобных рассуждениях заведомо недопустимо, поскольку в этом случае невозможно четко (а значит, правильно) очертить границы допустимого применения рассматриваемого математического аппарата.

Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математикой, кто последовательно получает твердые и точные знания математических фактов, будет уверенно двигаться дальше, и математика станет послушным инструментом в его руках.

Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко обусловлена тем, что эти методы не были своевременно достаточно хорошо разъяснены и потому остались непонятыми. Четкое введение математического понятия по сравнению с введением его на интуитивном уровне, как правило, оправдывает себя при его применении, позволяет его правильно использовать и не нуждается в дополнительных пояснениях. Полезно отдать себе отчет и в том, что развитие правильной математической интуиции у учащегося происходит прежде всего на базе твердых математических знаний, на базе владения математическими методами. Поэтому, само собой разумеется, что если говорить студенту бессмысленные или неверные вещи, что часто делается при попытке обучать математике на интуитивном уровне, то это приведет к выработке у него неправильной интуиции, вредность чего очевидна.

В заключение обсуждения необходимости и полезности строгости в математике приведу единственную цитату, а именно высказывание Д. Гильберта по этому вопросу: "Ошибочно думать, что строгость в доказательстве- враг простоты. Напротив, множеством примеров подтверждается, что строгий метод в то же самое время проще, легче и доступней. Всякое усилие в сторону строгости направляет нас к отысканию простейших методов доказательства" ("Квант", АН СССР и АПН СССР, 1970, № 3, стр. 52)).

Возвращаясь к вопросу критики методики преподавания математики, следует заметить, что нападки со стороны на якобы неправильную методику преподавания математики нередко связаны с непониманием или нежеланием понять суть дела. Так, например, одно из самых распространенных обвинений в адрес математиков состоит в том, что они обучают студентов никому не нужному эпсилон-дельта языку, в частности, требуют от них знания определения непрерывности функции с помощью эпсилон и дельта, заставляют их проводить на этом языке какие-то искусственные доказательства, скажем, доказывать, используя эпсилон-дельта терминологию, что х3 является непрерывной функцией, хотя это сразу следует из того, что функция f(x)=x очевидным образом непрерывна, а произведение непрерывных функций также непрерывно. Этот упрек основан на явном недоразумении и нежелании по существу разобраться в вопросе. Ведь определение непрерывности функции на эпсилон-дельта языке просто говорит о том, с какой точностью надо задавать значения аргумента функции для того, чтобы получить значения самой функции с заданной точностью - необходимость понимания этого не вызывает сомнений ни у какого прикладника. Сформулированную выше задачу о непрерывности я3, конечно, целесообразнее перефразировать следующим образом: выяснить, с какой степенью точности достаточно задать значение аргумента рассматриваемой функции, чтобы получить ее значение в данной точке с заданной степенью точности. Полезность решения подобных задач очевидна.

На этом примере еще раз хорошо видно, что математиков часто обвиняют~в грехах, которые им не свойственны. Мне хочется констатировать, что, несмотря на бытующее мнение, математики не схоласты, они прекрасно понимают, что применение математики не сводится к логическим упражнениям, они хорошо отдают себе отчет в необходимости развития интуитивного мышления, но при этом отчетливо понимают, что на первом месте стоит знание. Математики, безусловно, достаточно правильно воспринимают и принимают к сведению разумную критику со стороны. Следует, однако, подчеркнуть, что методика преподавания математики это прежде всего дело самих математиков при условии, конечно, что студенты получают необходимый запас математических знаний. Если же последнее условие не выполняется, то причина этого лежит прежде всего просто в недостаточной квалификации преподавателей математики.

В самом деле, необходимым условием хорошей постановки всякого учебного процесса является прежде всего достаточно высокая квалификация тех, кто учит.

При этом не следует забывать, что вследствие постоянного прогресса науки понятие о высокой квалификации подвергается временному изменению, поэтому надо обращать постоянное внимание на поддерживание квалификации преподавателей на надлежащем уровне и принимать своевременные меры по его повышению.

Снижение профессионального уровня и появление дилетантизма среди преподавателей опасны тем, что они лавинообразно приводят к выпуску специалистов, имеющих те же недостатки. Часто забывают и о том, что далеко не всякий хороший в своей области математик (хороший в том смысле, что он достиг успеха в своей научной деятельности) является и хорошим преподавателем (даже в сфере своей узкой специальности). Оставляя в стороне искусство учить, заметим лишь, что большого успеха в математике можно добиться в сравнительно узкой области и с небольшим запасом знаний, а для того, чтобы быть хорошим педагогом, надо быть, в частности, хорошо эрудированным в математике в целом. Впрочем, вопросу общей эрудиции следует уделять больше внимания при подготовке не только преподавателей, но и научных работников (чтобы они действительно были учеными и зря заново не изобретали велосипед). В свете всего сказанного представляется, что в настоящее время решение вопроса о повышении квалификации преподавателей математики и специальной их подготовки является весьма актуальным и важным.

Так как же все-таки преодолеть перечисленные выше трудности при обучении математике? Как же должна быть построена методика, чтобы преподавание математики было действительно таким, как это было сформулировано в пятом положении?

К сожалению, не существует точных рецептов, как надо преподавать различные разделы математики. Методика преподавания математики не наука, а искусство. Перед разработкой методики и выработкой достаточно обоснованных рекомендаций стоят большие сложности. Ведь подобные рекомендации и принципы, лежащие в их основе, недоказуемы, а основаны на вере. Поэтому, даже если какие-то из них удалось сформулировать, оказывается трудно убедить кого-нибудь в их целесообразности. Большинству, кроме всего прочего, свойственно считать, что так, как они сами учились у кого-нибудь или само стоятельно), так лучше всего учить и других (забывая о том, что часто с тех пор, когда они учились сами, прошло 40-50 лет), что то, что понравилось им в свое время или хорошо было освоено, является самым важным и нужным и теперь. Часто то, что преподаватель сам не учил совсем или учил в зрелом возрасте, кажется ему сложным, изысканным и трудным, а потому и ненужным при общем образо-вании.

Вспоминаю, что один пожилой математик выражал мне удивление по поводу изучения тензоров студентами первого курса, считая, что это для них недоступно. Он ссылался на то, что он и его коллеги-математики привыкали к этому понятию всю жизнь. Его убежденность легко объяснима: когда он учился в университете, его в аналитической геометрии обучали только координатному методу, в зрелом возрасте o он освоил векторный метод, в солидном столкнулся с тензорным. Поэтому неудивительно, что последний вызывает у него такое почтительное отношение.

Подобное отношение наблюдается в настоящее время и к теории обобщенных функций.

Как уже говорилось, обучающему обычно кажется, что как нечто понято и усвоено им самим, так оно должно пониматься и усваиваться учащимися, а ведь индивидуальные способности и стили мышления у людей весьма различны. К этому мы вернемся еще ниже при рассмотрении положения восьмого, а пока лишь констатируем, что трудностей в методике преподавания математики более чем достаточно.

Добавим к сказанному, что методика существенно зависит от формы преподавания: методика чтения лекций отличается от методики написания учебника; методика чтения лекций перед аудиторией другая, чем" методика чтения лекций по телевидению; зависит методика чтения лекций перед аудиторией и от числа слушателей (большая разница, как читать лекцию, если слушателей пять или двести), и от уровня их подготовки, и от многих других причин.

Плохо, если лекция сводится к более или менее дословному пересказу учебника. Лекции должна быть свойственна большая легкость, большая непринужденность изложения. Материал для лекционного курса должен быть тщательно отобран так, чтобы он содержал все принципиальное и необходимое, несмотря на его меньший, как правило, по сравнению с учебником объем. При действующей в настоящее время системе обучения в высших учебных заведениях для студента обычно бывает достаточно сведений, излагаемых на лекции, т. е. студент может и не читать учебников, В этом нет ничего плохого, так как усвоение хорошо прочитанных лекций является и прекрасным способом подготовки для работы с книгой.

Что касается учебников, то, конечно, на первом месте при оценке их качества стоит их научное содержание, методическая продуманность, ясность и простота языка. Создание хорошего учебника является очень трудным делом. Совсем не просто выбрать нужный уровень общности описания рассматриваемых объектов. Случается, что в погоне за общностью изложение усложняется настолько, что затемняет основную идею, которую прежде всего должен усвоить читатель. Как правило, при доказательстве какой-либо теоремы для лучшего выделения идеи," лежащей в его основе, целесообразно усилить в разумных пределах предпосылки с тем, чтобы доказательство было по возможности не обременено побочными трудностями (хотя, быть может, и связанными с другими интересными идеями, полезными для каких-то целей, которые, однако, в данном случае не преследуются).

Не надо забывать и о том, что многие вопросы, вызывающие затруднение на одной ступени обучения, делаются простыми и легко понятными на более высокой. Так, например, при изучении интеграла Римана формулу интегрирования по частям целесообразно излагать для гладких или, по крайней мере, для кусочно гладких функций, а не для функций, имеющих интегрируемые по Риману производные, так как последнее без всяких затруднений будет получаться из теории интеграла Лебега.

Важно в учебнике суметь расставить нужные акценты, написать не простое перечисление фактов, а помочь читателю выделить принципиальное, отделить главное от второстепенного, не впадая при этом в многословие. Это сделать сложнее, чем на лекции. Рассказывают, что, когда А. Я. Хинчин доходил в курсе анализа до теоремы о существовании первообразной у непрерывной функции и формулы Ньютона - Лейбница, он всегда начинал изложение этих вопросов в начале двухчасовой лекции и заканчивал его к концу первого часа. После этого он говорил слушателям, что у них сегодня большой праздник - они познакомились с одной из жемчужин математической мысли, с основной теоремой дифференциального и интегрального исчисления, что он хочет, чтобы у них этот день остался в памяти на всю жизнь, что он не может после доказательства этой замечательной теоремы говорить о менее значительных вещах, и потому продолжения лекции не будет, все могут идти домой.

У автора учебника возможности для того, чтобы помочь читателю понять и почувствовать глубину и значительность той или иной теоремы, значительно меньше, чем у лектора: автор имеет в своем распоряжении лишь несколько фраз.

Очень важен стиль написания. Чрезмерная формализация или, как говорил Дж. Литлвуд, стиль "вдохновленный, несомненно, дьяволом", так же как и его противоположность "описательный" стиль, затрудняют изучение учебника. Изложение в учебнике должно быть кратким, наглядным, логически четким, но не сухим. Учебник должен содержать не только перечисление соответствующих фактов (определений, лемм, теорем, их доказательств, разбор примеров), но и необходимые краткие, и притом точные их разъяснения.

Нецелесообразно, когда читателю учебника приходится размышлять над тем, что думал автор, когда делал переход от одного утверждения к другому. Подобная ситуация случается при наличии пропусков "тривиальных соображений", поэтому лучше не делать подобных сокращений. По словам того же Литлвуда: "две пропущенные тривиальности могут в совокупности образовать непреодолимое препятствие" (Дж. Литлвуд, Математическая смесь, М., 1965, стр. 33)). Ссылки на пользу размышления учащихся при обучении, поскольку такое размышление способствует активному усвоению изучаемого материала, здесь не уместны - для таких размышлений имеются упражнения и задачи, текст же учебника должен иметь логически завершенный вид.

Автор учебника должен не просто последовательно излагать факты, а умело вести за собой читателя по увлекательной дороге познания, руководить им, разъяснять ему смысл и значение возникающих понятий и доказываемых теорем, иллюстрировать на примерах применения излагаемых теорий.

К сожалению, иногда пренебрегают и внешним оформлением учебникрв и тем самым во многом сводят на нет другие их достоинства. Печать в учебнике должна быть четкая, оформление спокойное, текст должен легко читаться; расположение формул должно подсказываться удобством чтения; каждая новая мысль должна начинаться с красной строки; основные утверждения должны формулироваться по возможности лаконично (но не в ущерб русскому языку) и сразу бросаться в глаза: увидел и запомнил на всю жизнь.

Все, сказанное при разъяснении седьмого положения, красноречиво говорит о трудностях преподавания математики и о невозможности формулирования здесь точных принципов, которыми следует руководствоваться. В результате нам не удалось далеко уйти от того, что было сказано в начале, т. е. того, что изложение математики должно быть по возможности простым, ясным, естественным и основываться на разумной строгости, не очень вдаваясь в подробности, что это означает.