4. О цели обучения математике

Положение четвертое. Целью при обучении, математике является приобретение учащимся определенного круга знаний, умения использовать изученные математические методы, развитие математической интуиции, воспитание математической культуры.

Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможности с успехом использовать математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, иметь прежде всего необходимые для этого знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Это утверждение кажется очевидным, однако то, что происходит в реальной жизни, далеко не всегда согласуется с ним. Поясню это на одном анекдотическом, но действительно происшедшем случае.

Аспирант, пишущий диссертацию на экономическую тему, пришел однажды к одному моему ученику и сказал, что он подсчитывает процент прироста свиней в одном совхозе, однако математика дает результаты, противоречащие здравому смыслу.

- Дело, - сказал он, - обстоит следующим образом. Сначала свиней в совхозе не было, а через год их стало 50. Для подсчета процента их прироста я поделил 50 на нуль и помножил на 100, сократив нули, получил 50•100/0=500%. Однако по здравому смыслу, если бы сначала была одна свинья, а через год их бы стало снова 50, то процент прироста должен был бы быть меньше, однако тот же подсчет дает 50•100/1=5000%. Что-то в вашей математике не в порядке, - сказал аспирант (интересно, конечно, как он им стал?).

Это, конечно, уникальный анекдотический случай, но, к сожалению, использование того или иного математического аппарата вне возможных границ его применения встречается и на более высоком уровне. Я помню случай с одной докторской диссертацией по механике, где для "больших" скоростей использовалась формула, выведенная лишь для достаточно малых, что привело, естественно, к неверным выводам.

Перечисленными выше задачами не исчерпываются, однако, цели, которые ставятся при обучении студентов математике. Дело в том, что для того, чтобы иметь возможность разумно и успешно применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, как это отмечалось выше, иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математикой, в частности, знать границы допустимого использования применяемого математического аппарата. Этого, однако, недостаточно для умения решать задачи и изучать различные объекты математическими методами, да и вообще для математического творчества, т. е. для познания объективно существующих математических истин.

Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований с помощью правдоподобных рассуждений - это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. Следует заметить, что справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказательной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Конечно, и эксперименты и примеры также играют большую роль в математических исследованиях: они могут или дать иллюстрацию утверждения, или опровергнуть его, или натолкнуть на какую-либо (в том числе и новую) идею. За последние годы в связи с быстрым развитием вычислительной техники особенно возросло значение математического эксперимента в прикладных исследованиях: здесь открылись качественно совершенно новые возможности и перспективы.

Правильно и удачно поставленный на компьютере "численный эксперимент" может привести к возникновению плодотворных гипотез, изучение которых позволит понять сущность изучаемого явления и в конце концов создать нужную теорию.

При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода - залог успеха и, более того, часто причина того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем заранее предполагалось. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков, благодаря чему формулы могут оказаться "умнее" применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось (вспомним, например, теоретическое открытие позитрона Дираком).

Безусловно, эта схема весьма идеализирована.

Использование знаний, математического аппарата, интуиции, чувства гармонии, фантазии, логики, эксперимента происходит не последовательно по этапам - это все время взаимодействует между собой в течение всего процесса. Далее, далеко не всегда удается довести проводимые исследования до желаемого конца, но было бы, например, большим заблуждением думать, что для математики имеют значения только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения.

Можно привести много примеров математических теорий и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики или ее приложений.

В результате приобретенных в процессе обучения математических знаний и интуиции у учащегося появляется то, что обычно называется математической культурой. Ее уровень после завершения обучения в высшем учебном заведении должен обеспечить умение разбираться в математических методах, необходимых для работы по специальности, но не изучавшихся в вузе, умение читать нужную для этого литературу, умение самостоятельно продолжать свое математическое образование.

Анализу процесса математического творчества и использования математических методов при решении задач посвящено много интересных исследований (Отметим следующую литературу по этому вопросу: П. С. Александров, Мир ученого, "Наука и жизнь", № 8, 1974, стр. 2-9. А. Н. Колмогоров, О профессии математика, "Советская наука", М., 1954. Ж. Адама р, Исследование психологии процесса изобретения в области математики, "Сов. радио", М., 1970 (там же приложение: А. Пуанкаре, Математическое творчество). Д. Пойя, Математика и правдоподобные рассуждения, ИЛ, М., 1.957. Д. Пойя, Математическое открытие. "Наука", М., 1970. Дж. Литтлвуд, Математическая смесь, "Наука", М., 1965. А. Г. Постников, Культура занятий математикой, "Знание", М., 1975)).