3. О внутренней логике математики

Положение третье. Содержание общего курса математики не может быть определено с чисто прагматической точки зрения, основанной лишь на специфике будущей специальности учащегося, без учета внутренней логики самой математики.

Всякая наука имеет свою внутреннюю структуру и свою внутреннюю логику, имеет внутренние связующие звенья, не всегда имеющие непосредственный выход за пределы самой науки, но играющие принципиальную роль внутри нее и являющиеся необходимыми для ее понимания, усвоения и для умения правильно использовать ее в приложениях. Это бесспорная истина, о которой часто забывают, когда начинают говорить о конкретном содержании какой-либо дисциплины.

В качестве конкретного примера внутреннего связующего звена можно указать теорему Коши о среднем значении двух функций - она представляет интерес не столько сама по себе, сколько потому, что с ее помощью легко доказывается много полезных утверждений: оценка остаточного члена в формуле Тейлора, вывод правила Лопиталя для вычисления предела отношения функций.

Весьма красноречивым подтверждением сформулированного положения является высказывание А. Н. Крылова (А. Н. Крылов, Воспоминания и очерки, Изд-во АН СССР, М., 1956, стр. 612)): "При изучении анализа и механики и подобных отделов из аналитической геометрии и высшей алгебры должны соблюдаться определенная постепенность и полнота; многое может казаться излишним и непосредственных приложений не имеющим, но оно нужно для ясного усвоения дальнейшего и не может быть пропущено подобно скучной главе романа".

Итак, критерий полезности для будущей специальности учащегося при составлении программы какой-либо математической дисциплины должен, безусловно, присутствовать, но ограничиться только им было бы большой ошибкой.