2. О единстве математики

Положение второе. Математика едина.

Это положение означает, что деление математики на чистую и прикладную не может быть строго проведено, что чистая и прикладная математика являются частями единого неразрывного целого, называемого математикой, что эти части невозможно четко отделить одна от другой.

Чтобы подтвердить справедливость этого тезиса, следует прежде всего ответить на вопросы, что такое чистая математика? Что такое прикладная математика? Ответить на них совсем не так просто.

К какой-то степени можно сказать, что под чистой математикой обычно понимается та часть математики, в которой изучаются математические модели сами по себе, без связи с теми реальными явлениями (физическими, химическими, биологическими, экономическими, социальными или какими-либо еще), которые они могут моделировать. При этом в чистой математике исследования (качественные и количественные) проводятся с достаточной общностью, изучаются не отдельные конкретные объекты, а определенные классы объектов; устанавливаются общие методы и алгоритмы решения широкого круга задач.

К прикладной же математике относится та часть математики, в которой изучаются математические модели, моделирующие те или иные реальные явления.

Как уже отмечалось в первой главе, математическое изучение реальных объектов начинается с их математического моделирования, т. е. использования для их описания некоторых математических моделей, либо уже ранее известных, либо специально построенных для нужного случая. В результате изучения этих моделей часто возникают другие математические модели, которые в свою очередь начинают изучаться, и, таким образом, прикладная математика является мощным источником новых математических моделей. Исследования по прикладной математике нередко приводят к созданию целых новых научных направлений. Именно таким образом во второй половине нашего века оформились в самостоятельные ветви математики теория информации, теория операций, теория случайных процессов, теория оптимального управления, математическая экономика и т. п.

Целью изучения математических моделей в прикладной математике является в конечном итоге исследование соответствующего конкретного реального явления. Поэтому в прикладной математике наряду Q изучением общих методов большое место занимает и изучение более частных специальных методов, непосредственно связанных с данным реальным объектом. Конечно, как и при отыскании математической модели, моделирующей рассматриваемое явление, при изучении этой модели не всегда удается обойтись имеющимися в наличии в математике ресурсами. Даже в случае, когда имеются методы изучения нужной математической модели, эти методы могут оказаться не приспособленными для получения требуемых результатов. В этом случае приходится создавать новые специальные методы для решения поставленной задачи, которые также нередко оказываются источником новых общих методов в математике.

Математическое описание конкретных явлений, процессов, событий и т. п. получается на основе тех или иных численных характеристик. Поэтому большую роль в прикладной математике играют численные методы решения задач. В силу этого принято любые численные методы, независимо от того, относятся ли они к решению конкретной задачи или к решению достаточно широкого круга задач (например, численному решению уравнения Лапласа, без рассмотрения конкретного объекта, для которого оно может являться математической моделью), относить к прикладной математике, а не к чистой. Следует отметить, что численные методы начинают приобретать все большее и большее значение не только для исследований по прикладной математике, но и по чистой, что будет показано в дальнейшем на примере решения проблемы четырех красок.

Отметим еще, что при переходе к численному решению задачи после качественного ее исследования приходится часто снова начинать с математического моделирования изучаемого объекта, так как нередко случается, что математическая модель, которая годилась для качественного изучения объекта, оказывается непригодной для численных расчетов, а затем заниматься разработкой методов для решения возникшей задачи (если, конечно, старые методы не подходят для этой цели). Таким образом, численные методы, как и вся прикладная математика в целом, являются также одним из источников новых математических моделей и новых математических методов. Как уже отмечалось, многие математические модели и методы исследования, возникшие так или иначе в недрах прикладной математики, начинают изучаться сами по себе или, соответственно, применяться для изучения математических моделей без связи с реальными объектами и тем самым делаются достоянием чистой математики. Наблюдается, безусловно, и обратное явление, при котором методы/ созданные в чистой математике, находят свое эффективное применение в прикладной математике и, более того, в непосредственных приложениях математики к решению прикладных задач. Обо всем этом подробно говорилось в Цервой главе.

Все сказанное уже показывает неразрывную связь чистой и прикладной математики. Однако указанная связь на самом деле более существенна и более глубока - она пронизывает всю сущность методов, применяемых в этих областях.

Проанализируем это обстоятельство более подробно на примере численных методов. Убедительно высказывание С. Л. Соболева об их связи с областями математики, внешне, казалось бы, очень далекими от приложений, которое содержится в предисловии к его монографии "Введение в теорию кубатурных формул" (С. Л. Соболев, Введение в теорию кубатурных формул "Наука" М., 1974)). Он пишет: "...теория вычислений, которую сейчас так же невозможно представить без банаховых пространств, как и без электронных вычислительных машин".

Численное решение какой-то задачи обычно представляет собой завершающий этап ее решения, который осуществляется после определенного качественного ее исследования. Поясним это на примере (приводимом в подобной ситуации А. Н. Тихоновым) решения- системы линейных алгебраических уравнений в случае, когда число уравнений равно числу неизвестных. Рассмотрим два вопроса. Первый: когда существует и притом единственное решение такой системы? Второй: если оно существует, как его найти?

Теория дает исчерпывающий ответ на оба вопроса: единственное решение существует тогда и только тогда, когда определитель системы не равен нулю, и для решения в этом случае имеются формулы Крамера.

Казалось бы, что тем самым задача решена и с вычислительной точки зрения. Однако это не так. Прежде всего, с точки зрения численных методов такая постановка вопроса о единственности решения задачи лишена смысла - с определенной точки зрения оно всегда не единственное.

Действительно, на практике коэффициенты системы всегда задаются с определенной степенью точности, и поэтому говорить о ее решении имеет смысл также только с определенной степенью точности: любой набор численных значений неизвестных, удовлетворяющий рассматриваемой системе с указанной степенью точности, является приближенным решением. Таким образом, при численном решении задачи мы встречаемся здесь с существенно новой, более сложной постановкой самой задачи, по существу, задачей решения неравенств, а не уравнений. Далее, оказывается неудобным использовать и формулу Крамера для отыскания значения неизвестных. Если определитель системы будет "близким к нулю" (например, если его нулевое значение будет находиться в пределах допустимой точности задания коэффициентов), то результат вычисления решений по формуле Крамера может оказаться лишенным практического смысла, да и сама постановка задачи требует дальнейшего уточнения.

Впрочем, и в том случае, когда определитель системы не равен нулю в пределах допустимых значений ее коэффициентов, формулы Крамера практически не пригодны для численного решения системы, так как число необходимых для этого операций при таком способе решения очень быстро растет с увеличением числа неизвестных и объем необходимых вычислений делается практически неосуществимым.

На этом примере видно, что с прикладной точки зрения теоретическое решение задачи дало лишь объективную уверенность в существовании решения. Это очень важно, поскольку, будучи уверенным, что решение существует, с большой надеждой на успех можно попытаться найти корректную постановку задачи численного решения уравнений и методов практического нахождения решений. В рассмотренном случае для этой цели оказываются более удобными методы исключения переменных или методы последовательных приближений.

Знание того, что объект, который мы исследуем, действительно существует, дает возможность более правильно выбрать направление поисков. Если бы мы всегда обладали такими знаниями, сколько было бы сэкономлено бесполезных усилий, напрасно затраченного времени и бесплодного труда: достаточно вспомнить бесконечные попытки выполнить трисекцию угла или квадратуру круга с помощью циркуля и линейки (увы, продолжающиеся до сих пор со стороны тех, кто не признает теорем существования и не существования) или попытки сооружения перпетуум мобиле.

Правда, не следует забывать, что даже на ложном пути можно делать полезные и важные открытия. Так, химия возникла из бесплодных попыток алхимиков найти философский камень, а многим открытиям в астрономии мы обязаны астрологам, изучавшим небесную твердь для составления гороскопов. Тем не менее бесспорным является тот факт, что правильная постановка задачи существенно помогает целесообразному выбору усилий, направленных на ее исследование и тем самым является важным этапом на пути ее решения.

Итак, вопросы численного решения задач приводят к новым проблемам, к новым постановкам, и оказывается, что теоретические качественные исследования (в частности, теоремы существования) помогают правильно их поставить. На базе фактов "чистой" математики возникают новые, характерные именно для численных методов, задачи: задача о наиболее "выгодном" в том или ином смысле способе численного решения, задача об устойчивости применяемого численного метода и т. п. Сама классическая форма математических теорем "если ..., то ..." приобретает, по словам А. Н. Тихонова, новый аспект. Годятся только те "если", которые можно проверить на практике, которые можно задать с нужной степенью точности. Только такие "если" могут рассматриваться при решении прикладных задач.

Ситуация, при которой численные методы применяются для решения задачи, когда она теоретически достаточно полно исследована, является идеальной и не всегда наблюдается. Нередко численные методы применяются для решения задач, для которых не доказано существование решения и, более того, не обоснована корректность применяемых численных методов. Математические трудности, возникающие при решении таких задач, не вызывают сомнения и, конечно, заслуживают самого внимательного изучения.

Тесная взаимосвязь чистой и прикладной математики проявляется и в том, что современная вычислительная техника дает в руки математиков принципиально новые возможности не только для получения численных решений задач, но и для изучения, теоретических проблем.

Замечательным примером использования современных компьютеров в исследованиях по чистой математике является решение знаменитой проблемы четырех красок, поставленной еще в середине прошлого столетия.

Это проблема состоит в следующем. Плоскость разбивается на области (которые называются "странами") с помощью конечного числа гладких кривых без самопересечений. При этом любые две из этих кривых либо не пересекаются, либо пересекаются в концевых точках, и любая концевая точка каждой из указанных кривых является и концевой точкой по крайней мере одной другой кривой. Тогда каждая такая кривая входит в границу в точности двух стран, называемых соседними. Совокупность конечного числа полученных таким образом стран называется "картой".

Проблема состояла в нахождении минимального числа различных цветов, которыми можно раскрасить любую карту таким образом, чтобы каждые две соседние страны были окрашены в разные цвета (такая раскраска карты называется правильной).

В конце XIX века было установлено, что для правильной раскраски любой карты достаточно пяти цветов, пяти различных красок. А можно ли это сделать с помощью лишь четырех красок? Несмотря на многочисленные попытки ответить на этот вопрос (получивший название проблемы четырех красок), до самого последнего времени ответа на него не было получено. В силу простоты своей формулировки эта проблема постоянно привлекала к себе внимание, причем не только профессионалов-математиков, но и многочисленных любителей. И вот недавно было опубликовано сообщение о том, что проблема четырех красок решена американскими математиками К. Аппелем и В. Хакеном (К. Арреl, W. Haken, Every planar map is four colorable. - Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 82, № 5, September 1976, 711-712)). Именно, ими доказано, что любую карту можно раскрасить правильным образом с помощью четырех различных красок, т. е. так, что каждые две соседние страны будут окрашены в различные цвета. При этом, что очень интересно, решение этой проблемы было получено с существенным использованием современных компьютеров.

На первый взгляд это выглядит неожиданно и даже неправдоподобно: доказательство чисто геометрической теоремы с помощью вычислений на счетной машине!

Для пояснения заметим прежде всего, что проблеме четырех красок можно придать арифметический характер, что, кстати, было понято еще в XIX веке. Это удобно сделать, сформулировав проблему четырех красок на языке графов, перейдя от заданной карты к так называемому дуальному к ней графу. Для этого в каждой стране выбирается по точке (вершине графа), которые соединяются между собой кривыми (ребрами графа) в том и только том случае, если эти точки были выбраны в соседних странах.

Теперь ясно, что задачу о правильной раскраске карты можно заменить задачей правильной раскраски вершин получившегося плоского графа, т. е. такой раскраски, при которой две вершины графа, принадлежащие одному и тому же ребру, имеют разный цвет. Начало изучению связей проблемы четырех красок с арифметическими свойствами графа было положено еще в том же XIX веке. Первые численные оценки в этом направлении принадлежат английскому математику П. Хивуду (1890) (Более подробно об арифметических соотношениях, связанных с проблемой четырех красок, можно прочитать в монографии: А. А. Зыко в, Теория конечных графов, "Наука", Новосибирск, 1969, § 48, Проблема четырех красок)). В течение последующих почти ста лет благодаря усилиям многих математиков на этом пути был сделан ряд существенных шагов вперед, но лишь только в 1976 г. было получено положительное решение всей проблемы.

Но как же все-таки с помощью компьютеров было доказано, что для правильной раскраски вершин рассматриваемых плоских графов достаточно четырех красок? Ведь на компьютере можно провести вычисления лишь для конкретного, пусть с очень большим числом ребер и вершин, графа. Как же отсюда сделать заключение о раскраске любого конечного плоского графа? Для этого необходимо делать логические заключения, которые в нужной степени (во всяком случае, в настоящее время) вычислительные машины не умеют делать. Ведь компьютер не всемогущ: он может, например, вычислить сумму данного ряда с нужной нам точностью, но он не умеет исследовать сходимость рядов. Подобные действия остаются пока прерогативой человека.

Конечно, проблема четырех красок и не была решена с помощью одних лишь вычислений. Она была сначала редуцирована к некоторым частным вопросам, имеющим чисто арифметический характер, на которые можно было получить ответ, проведя определенные конкретные, числовые расчеты. Эти расчеты потребовали очень большого числа вычислений, которые были бы не под силу человеку, не вооруженному современной вычислительной техникой. Таким образом, нет ничего удивительного, что решение проблемы четырех красок не было получено этим путем в то время, когда не существовало быстродействующих вычислительных машин, которые теперь имеются в распоряжении человека.

На атом примере наглядно видно, как продолжает расти сфера применения компьютеров: с помощью их решается все больше и больше разнообразных задач, возникающих в самых различных областях человеческой деятельности.

Поскольку математика едина, то чистую математику и численные методы следует изучать как единое целое. Это естественно, ибо теоретические качественные и численные методы решения задач тесно переплетены между собой, причем численные методы базируются на тех или иных теоретических изысканиях, излагаются на языке абстрактных математических понятий. В силу всего сказанного численные методы разумно изучать на основе теоретического курса, а не подменять теоретический курс изложением набора отдельных рецептов численного решения задач.

При этом прежде всего надо четко представлять себе, что означает одновременное изучение чистой и прикладной математики, что означает прикладная направленность курса высшей математики, в чем конкретно состоит цель, к которой следует стремиться при обучении математике в высшем техническом учебном заведении.

Обычно для достижения этой цели рекомендуется вставлять в курс математики различные численные методы решения задач, как-то приближенные вычисления значений функций, приближенные методы вычисления интегралов, приближенные методы решения систем линейных уравнений, приближенные методы вычисления обратных матриц, собственных значений матриц и так далее и тому подобное. Отмечается, что при этом желательно давать и. методы оценки погрешностей полученных результатов - без указания хотя бы грубой оценки отклонения приближенного результата от истинного подобные методы не представляют интереса. Правда, иногда приходится мириться с тем фактом, что нужную погрешность удается установить не теоретически, а лишь проверить экспериментально в ряде конкретных случаев. Это, конечно, не является доказательством полученной оценки, но иногда оказывается достаточным для поставленных практических целей.

Все эти рекомендации безусловно справедливы: изучение отдельных методов численного решения задач является неотъемлемой частью общего математического образования и безусловно полезно, причем не только для тех, кто будет заниматься приложениями математики к решению конкретных задач, но и для тех, кто будет разрабатывать теоретические проблемы в той или иной области человеческого знания, в том числе и в чистой математике. Но было бы заблуждением считать, что включение изучения решений отдельных задач численными методами полностью решает вопрос о прикладной направленности математического обучения.

Решение этого вопроса в действительности гораздо сложнее.

Например, если представить себе деятельность геодезиста, связанную с измерениями на местности, то ему при проведении расчетов вряд ли поможет знание методов, с помощью которых были составлены таблицы, применяемые им в повседневной работе, или знание тех принципов, на которых основана реализация программ для ЭВМ, используемых им для проведения нужных вычислений. Для него гораздо важнее умение поставить математическую задачу, провести ее необходимый предварительный качественный анализ, подготовить ее для численного решения, а сам процесс этого решения для него не представляет интереса.

Умение нужным образом применять математические методы для решения практических задач с тем, чтобы получать требуемые результаты, и является основным критерием для оценки правильной постановки обучения, правильной ориентации будущих прикладных математиков. Для этого недостаточно (хотя, безусловно, и необходимо) знание одних численных методов. Нужно более широкое знакомство с математикой в целом, так как большей частью все конкретные задачи решаются с помощью и на основе имеющихся теорий, в том числе и математических.

Для достижения указанной цели отбор изучаемого материала играет первостепенную роль. Было бы неправильным ограничиваться в основном изучением методов, близких к численным методам или по своему духу, или по непосредственным связям. Здесь имеются в виду, например, методы выделения главной части функции в окрестности точки и методы аппроксимации функций в целом, применение этих методов для решения различных задач, касающихся как качественных исследований, так и имеющих оценочный характер. Безусловно, изучение подобных методов необходимо, очень полезно и потому должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Пренебрежение этими, в определенном смысле конкретными, разделами и преждевременное увлечение общими теориями на первых ступенях математического образования наносят последнему существенный вред.

Однако переход к изложению общих точек зрения на изучаемые объекты на следующих этапах обучения безусловно необходим, ибо он дает современному специалисту необходимую широту взгляда, необходимую математическую культуру. Следует только помнить, что общие теории особенно полезны тогда, когда имеются частные примеры для их применения, когда эти примеры сами по себе являются для учащегося естественными, хорошо знакомыми и освоенными.

Из всего сказанного следует, что практическая направленность математического обучения прежде всего имеет своей основой достаточное богатство и разнообразие изучаемого материала.

В связи с этим необходимо еще раз напомнить об имеющейся здесь опасности излагать материал "в полном объеме". Следует всегда помнить, что дело не в том, чтобы сообщить учащемуся десятки теорем, а прежде всего в том, чтобы учащийся активно овладел основными понятиями. В основе обучения должно лежать положение, что "лучше знать меньше, да хорошо", нежели иметь поверхностное знакомство со многими вопросами. На базе основательных знаний воспитывается математическая культура, необходимая для правильного использования математического аппарата. Надо всегда тщательно отбирать необходимый для студента минимум знаний, и только после его освоения можно допускать дальнейшее увеличение изучаемого материала. Имея прочную базу знаний, на ее основе легко можно продолжить дальнейшее образование в нужном направлении. В этом случае качество легко переходит в количество.

Очень важными являются философско-идеологические основы курса высшей математики. Именно с самого начала в этом курсе при изучении теоретических основ следует идеологически готовить студента к численному решению задач, как к следующей, в известном смысле более сложной, ступени изучения математических моделей, и, вместе с тем, прививать ему практические навыки обращения с современной вычислительной техникой: для современного студента использование в случае необходимости ЭВМ должно быть столь же естественным и простым, как для школьника обращение к таблице значений логарифмов или синусов. Как же всего этого достичь?

Прежде всего с самого начала обучения математике в высшем учебном заведении целесообразно обращать внимание на характер доказательств рассматриваемых в курсе теорем, отмечая, когда он является алгоритмическим, а когда нет. Например, полезно проанализировать тот факт, что доказательство теоремы о существовании максимума и минимума у непрерывной на отрезке функции, проводимое с помощью принципа компактности, не дает возможности фактически найти точки экстремума. С другой стороны, полезно отметить, что доказательство того, что непрерывная на отрезке функция, принимающая на концах отрезка значения разного знака, обращается в некоторой точке в нуль, проводимое с помощью последовательного деления отрезка пополам, имеет алгоритмический характер, поскольку позволяет найти указанную точку с любой степенью точности.

Небезынтересно обратить внимание на то, что не является алгоритмическим и доказательство теоремы Вейерштрасса о существовании, например, наибольшего значения у непрерывной на отрезке функции, основанное на том же последовательном делении отрезков пополам и выборе того из двух получившихся отрезков, на котором значение верхней грани функции не меньше, чем на другом. Действительно, этот метод выбора отрезков не эффективен, не алгоритми-чен: например, критерий, состоящий в том, что из двух отрезков выбирается такой, что, каково бы ни было значение функции, принимающееся в некоторой точке другого отрезка, и каково бы ни было число, меньше этого значения, на выбранном отрезке найдется точка, в которой значение функции больше указанного числа, нельзя "фактически" проверить, в отличие от критерия, по которому производился выбор отрезков при доказательстве теоремы Коши об обращении в нуль непрерывной функции, принимающей на концах отрезка значения разного знака. В последнем случае выбор отрезка на каждом шаге производится на основании сравнений знаков значений функции только в двух точках - на концах отрезка, получившегося на предыдущем шаге.

Полезно также заметить, что не всякий алгоритмический процесс на самом деле целесообразно использовать на практике (например, для численного решения систем линейных уравнений обычно бывает неразумно использовать формулы Крамера), что большое значение для использования алгоритма при численных расчетах имеет число операций, которые надо произвести при его применении, и объем памяти, которую надо при этом использовать.

Весьма целесообразно параллельно с рассмотрением основных понятий математического анализа обучать сразу студентов численному решению задач, иллюстрирующих изучаемые понятия и их свойства. Благодатной темой для таких задач является, например, численное решение задач на отыскание экстремума функций как с помощью теорем о свойствах производных в точках экстремума, так и непосредственным методом поиска (перебора). Полезно и сравнить порядок числа операций при нахождении решения задачи этими методами.

Иногда приходится слышать упреки, что в курсах математики увлекаются изучением внутренних математических понятий, ненужных для приложений. Обычно эти упреки касаются лишь стиля изложения, а не содержания курса по существу. Чтобы не давать повода для подобных упреков и для того, чтобы сразу правильно ориентировать студента при изучении математики (особенно при обучении будущих специалистов по приложениям математики), целесообразно с самого начала изучения математики в высших учебных заведениях указывать на связь с численными методами таких понятий, как, например, вложение отрезков, предел последовательности, запись действительных чисел с помощью бесконечных десятичных дробей, ε-δ определения непрерывности функции (см. далее п. 5 )и т. п. Такое методическое построение математических курсов обеспечивает неразрывную связь теоретических (качественных и аналитических) методов и численных, не противопоставляя одни другим.