2. О сущности математики

Вопрос о том, чему и как учить в математике, вновь остро обсуждается в настоящее время в связи с повышением роли математических методов как при решении конкретных практически важных задач, так и при проведении самых разнообразных теоретических исследований. Вот как оценивает роль математики уже упоминавшаяся XIX Международная конференция по народному образованию: "...математика имела во все времена бесспорное культурное и практическое значение, играла важную роль в научном, техническом и экономическом развитии, ...наша эпоха создает невиданные ранее условия расцвета математики..." (Математическое просвещение. Вып. I, Гостехиздат, М., 1957, стр. 15-22)).

Математизация - это характерная черта современной науки и техники. Человечество ныне как никогда осознало, что знание, уж во всяком случае в области естественных наук, делается точным только тогда, когда для его описания удается использовать математическую модель (уже известную, либо специально созданную).

Вместе с увеличением объема приложений математики продолжает интенсивно развиваться и она сама, причем ее развитие, как и всегда, стимулируется не только внешними, но и внутренними факторами.

Убедительным примером содержательности внутреннего развития математики и пользы от этого не только для нее самой, но и для ее приложений, является создание древнегреческими математиками теории конических сечений, которая не находила своего применения "две тысячи лет, пока Кеплер воспользовался ею для создания точной теории движения небесных тел, а от этой теории Ньютон затем создал механику, служащую основой всей физики и техники" (А. Н. Крылов, Воспоминания и очерки, Изд-во АН СССР, М., 1956, стр. 589)).

Другим подобным примером может служить теория групп, зародившаяся в конце XVIII века в недрах самой математики (в 1771 г. Ж. Лагранж рассмотрел группы подстановок в связи с изучением алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах) и нашедшая лишь в конце XIX века свое плодотворное применение в кристаллографии, а позднее в теоретической физике.

Наконец нельзя не отметить внутреннее возникновение в математике "воображаемой геометрии" Н. И. Лобачевского, которая сыграла очень важную роль как в развитии самой математики, так и в эволюции наших гносеологических представлений об окружающем нас мире.

Внешние стимулы могут влиять на развитие математики по-разному. С одной стороны, это может быть связано с изучением реальных явлений математическими методами. Например, изучение задач механики, законов движения материальных тел, вычисление площадей и объемов, привело к созданию дифференциального и интегрального исчислений. С другой стороны, случается, что наблюдение какого-либо явления приводит к постановкам чисто математической задачи, которая исследуется сама по себе, уже без связи с самим явлением. Так, древние греки, заметив, что высоты звучания струн зависят от их длины, стали заниматься изучением отношений чисел и назвали эту часть математики музыкой.

В настоящее время в результате появления быстродействующих вычислительных машин появились качественно новые возможности использования математических методов. Они применяются ныне не только там, где это делалось издавна (например, в механике, в физике), но и там, где двадцать - тридцать лет назад об этом не было и речи (в экономике, геологии, социологии, лингвистике, биологии, медицине, управлении и т. п.). Огромную роль, которую играет вычислительная техника в экономике современного развитого государства, образно выразил еще около пятнадцати лет назад американский президент Дж. Кеннеди, сказав, что, если бы в то время в Америке остановились все вычислительные машины, то это была бы столь большая катастрофа, что ничего подобного ей его страна никогда прежде не переживала.

Заметим, что с появлением новых возможностей использования математики, связанных с современной вычислительной техникой, не потеряли своего значения и методы классической математики, в частности качественные математические исследования. С помощью подобных методов производится, например, правильная постановка математических задач, создание новых математических моделей, отбор материала для просчитывания его на вычислительных машинах И разработка новых вычислительных методов.

Вопрос о роли, значении и содержании математики в последнее время стал привлекать большое внимание. Высказывалось много критических замечаний в адрес современной математики и математиков. Это видно даже из заголовков появляющихся в печати статей: "Можно ли спасти математику" (У. Дж. Спон-младший, Можно ли спасти математику. - Природа, АН СССР, 1973, № 2, стр. 50-53. См. там же: А. А. Дородницын, Что нужно спасать? и С. П. Новиков, Необходима перестройка математического образования)), "Физики против математиков?" (Л. Письмен, Физики против математиков? - "Знание - сила", 1972, № 2, стр. 30-31)), "Математики сами за себя" (Ю. Шрейдер, Математики сами за себя, "Знание - сила", 1972, № 2, стр. 32-33)) и т. п. Встречаются высказывания, в которых сквозит явное разочарование в возможностях достижения существенных успехов в решении многих жизненно важных задач с помощью математических методов, где это еще совсем недавно казалось близким и возможным.

Это связано с тем, что первое использование быстродействующих вычислительных машин для решения конкретных задач, например, инженерно-технических или задач управления и планирования производством, оказалось сплошь и рядом весьма успешным и привело к широкому распространению мнения об универсальности и могуществе математических методов, о том, что нужно лишь применить соответствующим образом математику в экономике, биологии или какой-либо другой науке, как в них автоматически произойдет большой прогресс. К чести самих математиков, следует заметить, что они сами не причастны к созданию этого мнения, которое, конечно, весьма наивно.

Дальнейшие события показали, что без развития экспериментальных и теоретических исследований в какой-либо науке (например, той же экономике или Чшологии) невозможно существенное продвижение вперед за счет только применения математических методов. Для построения содержательной математической модели в экономике или биологии необходимо знание экономических, соответственно биологических законов, нужны прежде всего содержательные экономические или биологические гипотезы.

Положение математики в настоящее время можно сравнить с успешной деятельностью некоторой фирмы, в результате которой фактическая стоимость ее акций непрерывно растет (роль и значение математики действительно непрерывно и, по существу, все время увеличивается). Вследствие роста стоимости акций на них естественно повышается спрос, что в свою очередь приводит к некоторому повышению их рыночной стоимости, которая тем самым оказывается превышающей настоящую стоимость. Нечто подобное произошло и с математикой: в связи с колоссальными успехами, достигнутыми в результате использования быстродействующих вычислительных машин при решении актуальных научных и хозяйственных проб-лем, не вполне компетентные специалисты создали некоторый бум вокруг математики, что привело к определенной ее фетишизации. Сказались эти успехи и на положении математиков, которые стали играть в обществе более значительную роль (естественно, за счет утраты определенных позиций их коллегами из других областей науки, что не могло не вызвать известного раздражения у части из них).

Когда все стало на свои места, и достаточно четко обрисовались реальные контуры использования математических методов и выявились ошибки, допущенные при подготовке кадров, необходимых для правильного применения современной вычислительной- техники, у некоторых людей появился определенный скепсис (а у некоторых он существовал всегда) в отношении математики, возродив снова разговоры о том, что математика-де не наука, а язык (высказывание, восходящее к известному физику Гиббсу), что математика - это жернова, которые сами по себе ничего не производят, а только мелют то, что в них засыпают (Гексли) и т. д. и т. п. Все это не ново, как говорит Гарднер (М. Гарднер, Математические досуги, "Мир", М., 1972)): "Никогда не было недостатка в хулителях математики".

Справедливости ради следует заметить, что высказывания подобного рода делаются не только извне в адрес математики в целом, но и "внутри" самой математики, если так можно выразиться. Например, от математиков, занимающихся "классическими вопросами", нередко можно услышать, что функциональный анализ не наука, а язык, а от математиков, решающих задачи на ЭВМ, что классическая математика является схоластикой. Это все высказывания одного порядка.

Что бы ни говорили отдельные скептики, роль и значение математики в настоящее время продолжает увеличиваться и соответственно, продолжает расти число людей, занимающихся математикой. Например, в США (Политика США в области науки, "Прогресс", М., 1971)), по статистическим данным на 1963 г., имелось 42,1 тысячи математиков. Согласно же Бюро статистики труда США их число к 1975 г. должно было увеличиться до 87,2 тысячи человек, т. е. на 107,8%, что больше чем прогнозируемый прирост к тому же году инженеров, химиков, физиков, биологов и других ученых-естественников, т. е. научных работников в области наук о земле, ученых-металлургов и т. д.

В Канаде на будущее, даются такие рекомендации (A. J. Coleman, G. D. Edwards, К. P. Belts пег, Mathematical sciences in Canada. - Science Council of Canada, № 38, 1975, стр. 181)): "На разных ступенях нашего общества, в том числе в университетах, в сфере бизнеса, в промышленности, в соответствующих департаментах федерального правительства и местных органов власти, необходимо приложить определенные усилия, направленные на более эффективное развитие математики и подготовку специалистов, владеющих математикой".

Во Франции положение описывается следующим образом (Б. Илечко, Научные исследования во Франции, "Мир", М., 1971, стр. 104)): "Признано так же, что до сих пор слишком мало внимания уделялось условиям труда математиков. Пятый пятилетний план обеспечил им помощь в лице научных секретарей, технических помощников и специализированных переводчиков. Предусмотрены также ассигнования на приобретение литературы и значительное облегчение с изданием трудов по математике. Математики располагают крупными суммами на поездку за границу и на приглашение во Францию крупных иностранных специалистов". Далее там же пишется: "В настоящее время намечается поворот к новым сферам применения математических методов, а именно праксеологии, которая становится наукой, приобретающей фундаментальное значение, и в подготовке крупных социальных решений, определяющих будущность человечества: планирование, планировка застройки районов, пути сообщения, модернизация сельскохозяйственных предприятий, политика развития слаборазвитых стран и т. п.".

Подобная ситуация типична для всех развитых стран.

Так что же такое математика и математические модели, изучением которых она занимается?

Математическая модель - это логическая структура, у которой описан ряд отношений между ее элементами. Математика представляет собой стройную и глубокую совокупность знаний о математических моделях со своими проблемами, с собственными путями развития, обусловленными внутренними и внешними причинами и задачами. Математика представляет интерес прежде всего сама по себе, как совокупность объективных истин. Кроме того, математика дает удобные и плодотворные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым действительно выполняет в этом смысле функцию языка. Эту роль математики прекрасно осознавал еще Галилей, сказавший: "Философия написана в грандиозной книге - Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она изложена. Написана же она на языке математики..." ("The Assayer", Discoveries and opinions of Galileo, Doubleday Anchor Books, New York, 1957, p. 237-238)).

Наконец, и это очень важно, математика дает людям мощные методы изучения и познания окружающего их мира, методы исследования как теоретических, так и чисто практических проблем (Популярное, интересно написанное и вместе с тем глу" бокое освещение вопросов, связанных с сущностью математики, читатель может найти в брошюре Альфреда Реньи "Диалоги о математике" и в предисловии к ее русскому изданию ("Мир", М, 1969), написанному Б, В, Гнеденко)). С помощью математики решается много важных и актуальных технических и экономических задач, имеющих первостепенное значение для хозяйства страны, что превратило математику в производительную силу общества.

Итак, коротко резюмируя, можно сказать, что математика - это область человеческого знания, в которой изучаются математические модели. Математический язык является удобным языком для описания реальных явлений, а математические методы - плодотворными методами их изучения.

Оставляя в стороне философские и лингвистические обоснования, область человеческого знания, именуемую математикой, будем называть все-таки наукой, а не языком, независимо от того, понимать ли под языком только язык описания или и язык логического вывода. Мы не будем заниматься философским содержанием и углубляться в сущность понятий "математическая модель" и "математика". Это глубокие философские вопросы, и рассмотрение их не входит в нашу задачу. Если кто-то все-таки продолжает считать математику языком, тот может каждый раз, когда будет говориться о математике как о науке, говорить про себя: язык, язык, язык. От этого ровно ничего не изменится в понимании нижеследующего, это нисколько не повлияет на смысл всего дальнейшего.

Возвращаясь к месту и роли математики в жизни и деятельности человечества, приведем цитату из обзора "Математические науки в Канаде" (A. J. Соlеman, G. D. Edwards, К. Р. Веllsner, Mathematical sciences in Canada, - Science Council of Canada, № 38, 1975, стр. 46)). "В двадцатом столетии центральное ядро математических наук, традиционно называемое чистой математикой, развивается очень быстро. Те, кто сегодня обращаются к изучению чистой математики, сталкиваются с удивительными математическими структурами, о которых столетие назад невозможно было и мечтать. Исследования, проводимые чистыми математиками, нередко находятся далеко от практического их использования и представляют собой красивые и изящные абстрактные математические системы. Они являются развивающимся видом искусства, способом выражения которого являются не слова, звуки или краски, а мысль. Результаты в чистой математике оцениваются не по непосредственной пользе, которую они приносят и которая обычно отсутствует, а по их логической завершенности и по мастерству их выполнения. Даже если некоторые из них совершенно "бесполезны", они, безусловно, займут место среди культурных ценностей человечества".

Эта цитата еще раз подчеркивает высказанную выше мысль о том, что ценность математики состоит не только в ее практических приложениях, но и в ней самой, как самостоятельной науке.

Расширение использования и приложения математических методов, в которых нуждаются многие области науки и техники, немыслимо без развития самой математики, и наше время красноречиво подтверждает это: ныне, как никогда, мы являемся свидетелями бурного роста как самой математики, так и роста применений математических методов в других науках. Математика всегда играла и продолжает играть огромную, все увеличивающуюся роль в естествознании, а теперь и в гуманитарных и социальных науках. Ее методы, как методы исследования и описания явлений, их моделирования широко проникают во все науки и с их помощью часто удается достигнуть значительного прогресса. В качестве примера можно привести уже ставшие хрестоматийными такие теоретические открытия, как открытие планеты Нептун, открытие электромагнитных волн или открытие позитрона, сделанные сначала математически "на кончике пера" и лишь потом нашедшие свое экспериментальное подтверждение. В век бурного развития вычислительной техники в математическом моделировании наряду со "старыми" классическими разделами математики, как, например, алгебра, теория дифференциальных, интегральных и разностных уравнений, теория вероятностей, используются и более новые - математическая логика, функциональный анализ, теория машинных языков, теория информации, теория операций и многие другие.

Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами по-прежнему остается моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений. Для их составления нужно знать только локальные связи и не нужна информация обо всем явлении в целом. Это существенно упрощает задачу, поскольку, образно говоря, в малом все линейно. Например, при составлении уравнений колебаний струны не используется тот факт, что струна, выведенная из положения равновесия, совершает колебательное движение, а используется лишь упругий характер сил сцепления отдельных ее элементов. В результате получается уравнение, решения которого имеют колебательный характер. С его помощью можно провести качественный и количественный анализ движения струны в целом, поскольку оно достаточно хорошо соответствует реально происходящему явлению. Таким образом, в данном случае вся информация о поведении объекта в целом заложена в информации об его локальном поведении, на основе этой информации строится математическая модель, которая дает возможность изучать явление в целом, предсказывать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени.

Напомним, что именно так и было открыто волнообразное распространение электромагнитных волн: от локальных свойств явления к уравнениям, а от уравнений к описанию явления в целом. Не лишне, однако, отметить, что лишь только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний стало возможным рассматривать уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.

Правильность физической интерпретации математической модели может быть установлена только непосредственным опытом. Пока он не осуществлен и не привел к положительным результатам, "математическое открытие" в данной конкретной области знания, т. е. умозаключение о свойствах каких-то изучаемых в этой области реальных явлений, сделанное на основе исследования некоторой математической модели, не является еще открытием в рассматриваемой области знания. Так, например, станет или нет действительным открытием теоретическое "открытие" монополя, покажут лишь будущие эксперименты.

При применении математических методов к решению прикладных задач возникают новые математические модели, которые часто начинают потом изучаться сами по себе, без связи с теми конкретными задачами, которые их породили. Так происходило всегда, например, при истории создания дифференциального и интегрального исчислений на базе изучения задач механики. Происходит это и сейчас, когда создаются математические модели в экономике, биологии, теории управления и других науках. Дать оценку результатам теоретического изучения новых мате^ матических моделей, как и вообще любым теоретическим исследованиям, непосредственно тогда, когда они выполнены, бывает очень трудно, и история знает немало примеров допущенных ошибок при оценке новых теорий. Достаточно вспомнить осуждение Остроградским неевклидовой геометрии, созданной Лобачевским, или враждебное отношение Кронекера к теории множеств Кантора, или порицание многими математиками таких направлений, как топология и математическая логика на заре их создания. И здесь дело не в изолированной точке зрения отдельных ученых: например, в упомянутых случаях и Остроградский и Кронекер являлись выразителями мнения большой авторитетной группы математиков.

Самостоятельное изучение возникающих математических моделей и их обобщений закономерно и неизбежно, и только время покажет, изучение каких из этих моделей заслуживает пристального внимания, а каких нет.

Немаловажно заметить, что теоретические математические исследования, в отличие от многих других, практически ничего не стоят государству, ибо для их проведения ничего, кроме пера и бумаги (и, конечно, чьей-то головы), не нужно. Математики, ведущие теоретические исследования, обычно занимаются преподавательской деятельностью, принося тем самым непосредственную и ощутимую пользу обществу, и получают за это зарплату, которая является для них надежным обеспечением их средств существования.

Само собой разумеется, что теоретическими исследованиями не должно исчерпываться изучение конкретных задач: практическая ценность математических исследований прикладных задач определяется прежде всего конкретными результатами - только они являются истинным критерием их значимости.

Неправильная оценка значения математики в научном прогрессе, оценка ее места в науке и ее роли при решении конкретных задач, стоящих перед обществом в данный момент времени, нередко связаны с неправильным представлением о сущности математических знаний, о сущности понятия математической модели, о сущности самой математики и математических методов. Нередко математическая модель смешивается с реальным явлением, для описания которого она пригодна в каком-то смысле, что, кстати, приводит иногда и к искажению целей преподавания математики; и уж во всяком случае порождает весьма спорные высказывания и поток поучений в журнальных статьях и докладах, посвященных вопросу о том, как надо в настоящее время учить математике, чтобы в результате получились специалисты, которые смогли бы успешно применять ее к решению прикладных задач (к этому потоку относится, конечно, и настоящее сочинение).

Поясню свою мысль на примере одного старого анекдота.

Физик-теоретик и математик занимались одной и той же задачей, описываемой некоторым уравнением. Однажды математик с радостным видом подбежал к физику и сказал, что наконец-то сегодня он доказал, что уравнение, которым они занимаются, имеет решение.

- Дорогой мой, - ответил ему физик, снисходительно похлопав его по плечу, - если бы я хоть минуту сомневался, что решение существует, то я бы давно перестал заниматься этой задачей!

Этот анекдот как бы говорит, - вот-де мол какие простаки математики, занимаются бесплодными, никому, кроме них самих, не нужными мудрствованиями. Однако, если посмотреть чуть поглубже, то нетрудно понять, что это вовсе не анекдот о незадачливом математике, занимающемся бесполезной деятельностью, а анекдот о том, как люди не хотят (а иногда, может быть, не могут) понять друг друга; о том, как люди говорят как будто бы на одном языке, а на самом деле на разных; о том, как, думая, что они обсуждают одну и ту же проблему, они на самом деле имеют в виду разные. Истинная соль этого анекдота в том, что физик говорит о физическом явлении, а математик о его математической модели.

Математическая модель физического явления не является и не может являться идентичной, адекватной самому явлению. Всякое математическое описание явления означает известную его логическую идеала зацию, не говоря уже о том, что это описание происходит с определенной степенью точности в результате отбрасывания ряда факторов, которые, несмотря на кажущуюся "незначительность" и "малость", могут в каком-то смысле существенно повлиять на конечный результат. Поэтому из существования решения физической задачи, которое имел в виду физик, не следует существования решения соответствующей математической задачи; ее существование можно установить или опровергнуть только математическими рассуждениями. Думать, что это не так, т. е. считать, что из существования решения физической задачи следует существование решения ее математической модели, тем самым полагая, что математическая модель равносильна в этом смысле физическому явлению, означает приписывание математике такой силы и общности, которой она, увы, не обладает.

Не спасет здесь положение развитие и совершенствование вычислительной техники: самый "мудрый" блок сверхсовершенной вычислительной машины содержит в себе только ту математическую модель, которая в него заложена или выведена машиной из других заложенных в нее математических моделей, а не само физическое явление, которое описывается рассматриваемой математической моделью.

Отметим, что здесь речь, конечно, вовсе не шла об использовании физической интуиции при исследовании модели физического явления математическими методами. Использование физической интуиции, и не только интуиции, а и обоснованных физических умозаключений, в этом случае, безусловно, целесообразно и весьма полезно. К вопросу об интуиции мы вернемся в дальнейшем. А сейчас подчеркнем, что когда исследуется математическая модель, то физические соображения имеют лишь наводящий правдоподобный ха^ рактер и не имеют доказательной силы. Лишь после того как математически доказано, что существует -решение уравнения, моделирующего некоторое физическое или какое-либо другое реальное явление или, по крайней мере, численно найдено приближение этого решения и опытным путем установлено, что оно соответствует реальной ситуации, можно говорить о том, что рассматриваемая математическая модель достаточно хорошо описывает изучаемое явление и ее можно.с достаточным успехом использовать для его исследования, прогнозирования дальнейших событий, для управления входящими в него объектами и т. д. и т. п.

Конечно, совсем не следует думать, что каждое математическое решение задачи, моделирующей некоторое реальное явление, следует проверять эмпирически. Когда уже установлено, что соответствующая математическая модель достаточно хорошо описывает определенный круг явлений (как, например, законы Ньютона - описывают механические движения), необходимость экспериментальной проверки, естественно, отпадает.

Приведенный выше анекдот отражает собой также широко распространенную тенденцию обвинения математиков в излишнем увлечении теоремами существования при проведении, например, исследований конкретных задач математическими методами, или при обучении математике будущих физиков, инженеров и т. п. К этому вопросу мы вернемся в дальнейшем.

Подчеркнем еще, что математика изучает математические модели, а эти модели могут являться моделями реальных физических, химических, биологических, экономических, социальных и других явлений, поэтому изучая эти модели, мы изучаем тем самым указанные реальные явления, т. е. с помощью математических моделей математика дает возможность исследовать процессы, протекающие в окружающем нас мире. В этом огромное гносеологическое значение математики. При этом не следует забывать, что одна и та же математическая модель может соответствовать совершенно различным реальным явлениям. Так, например, с помощью уравнения Лапласа описываются стационарное распределение тепла в твердом теле, течение жидкости, явление кумуляции и т. д.

Это свойство математических моделей выражает абстрактность математики. По поводу этого А. Пуанкаре остроумно сказал: "Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование". Можно добавить, что не только "давать название", но и изучать разные вещи одним методом.

Итак, мы видим, что простая фраза "математика изучает математические модели" не так проста на самом деле, как она может показаться с первого взгляда.

Абстрактность математики порождает определенную трудность ее применения к описанию конкретных задач, в то же самое время абстрактность математики придает ей силу, универсализм и общность. Не следует смешивать математику и ее применения. Сама математика является абстрактной наукой, а ее применения могут быть весьма конкретными. При этом следует помнить, что нельзя обучить приложениям математики, не научив самой математике.

Говоря о математике и математических моделях, нельзя не сказать несколько слов и о математическом моделировании. Выше подчеркивалось, что для построения математической модели нужно обладать не только математическими, но и глубокими специальными профессиональными знаниями. Не нужно, однако, думать, что для успешного математического моделирования необходимо знать и понимать сущность моделируемого физического, биологического, экономического или какого-либо еще процесса, знать причины, порождающие этот процесс. Совсем нет! Может случиться, что эта сущность и вовсе еще не известна, а тем не менее оказывается возможным в случае, если известны определенные связи разных частей изучаемого явления, создать математическую модель, достаточно хорошо отражающую внешние нужные стороны изучаемого явления и тем самым получить возможность изучать его и предвидеть, предсказывать его дальнейшее развитие (Это в равной степени относится и к моделям не матема-тическим, но рассмотрение их не входит в нашу задачу)). В этом нахо-. дит свое выражение все та же абстрактность математики. Не следует только смешивать, отметим еще раз, само явление с его математической моделью.

Математическое моделирование в связи с интенсивным процессом математизации наших знаний и широким использованием ЭВМ для изучения разнообразных явлении превращается в настоящее время в один из самых актуальных и основных аспектов развития современной науки. Большой и сложный вопрос о роли математического моделирования, являющегося связующим звеном между математикой и другими науками, в жизни современного общества заслуживает, конечно, специального рассмотрения (См. по этому вопросу Н. Н. Моисеев, Математик задает вопросы.,., "Знание", М., 1974)). Мы же лишь коснемся этого вопроса еще раз в главе II, п. 9, когда будем рассматривать вопрос о преподавании математики.

Характерной чертой математических истин является их абсолютный и вечный характер, следовательно, они не меняются и не могут измениться с развитием наших знаний. Так, за последние две тысячи лет наши представления об окружающем нас мире и об управляющих им закономерностях претерпели существенные изменения, а, например, теорема Пифагора осталась и останется всегда такой же, какой она была в древней Греции. Это, конечно, не исключает того, что в процессе своего исторического развития многие математические понятия и утверждения не сразу обретали и обретают свою логически законченную форму, не исключает в особенности и того, что в процессе развития одни и те же объекты, изучающиеся в математике, воспринимаются с разных точек зрения, что приводит к раскрытию их новых свойств, наполняет их новым содержанием, что в свою очередь нередко существенно меняет наше представление об их значимости и важности.

При обучении математике ее будущего потребителя встает основной вопрос: "Чему надо учить прежде всего по математике в институте?" в свете происходящей математизации науки в наше время. При этом следует исходить из того, что время, отведенное на изучение математики в высших учебных заведениях, не может быть сколько-нибудь существенно увеличено по сравнению с тем, которое на нее уже отведено. Необходимо также ответить на следующие вопросы. Каково должно быть взаимоотношение дискретной и непрерывной математики? Каково должно быть отношение их объемов в общем курсе математики? Как, на какой основе изучать численные методы? Где их место в общем курсе математики? Где и как обучать студентов использованию вычислительных машин?

Конечно, для представителей разных профессий требуется разный уровень математических знаний. Мы постараемся рассмотреть некоторые общие аспекты обучения математике студентов, которые после окончания института при работе по своей специальности будут использовать математические методы для решения конкретных задач, для теоретических исследований, непосредственно связанных с практикой (механикой, физикой, техникой, биологией, экономикой, управлением и т. д. и т. п.).

Впрочем, формулируемые ниже общие положения о преподавании математики применимы и для подготовки будущих профессионалов-математиков просто потому, что хорошо продуманные методика преподавания и содержание программ обучения всегда оправдывают себя.

Безусловно, что при подготовке математиков имеется еще ряд своих дополнительных особенностей. Читатель, интересующийся этим вопросом, может ознакомиться с ним в брошюре А. Н. Колмогорова "О профессии математика" (А. Н. Колмогоров, О профессии математика, "Совет екая наука", М., 1954)).

Нельзя здесь не отметить, что вопрос взаимопонимания тех, кто применяет в своей деятельности математические методы исследования для изучения реальных явлений, и так называемых "чистых" математиков - очень сложен. Там, где удается достичь такого взаимопонимания, наступает плодотворное содружество математики и ее приложений. В случае, когда для рассматриваемых приложений уже имеются готовые математические понятие и основные математические модели, решение задачи указанного взаимопонимания просто и имеет учебный характер. Эта задача очень сложна в том случае, когда отсутствуют даже элементарные математические модели простейших явлений, когда их надо только еще создавать, как, например, в настоящее время в ряде вопросов экономики, биологии, медицины, социологии, лингвистики. Постоянно возникают новые сложности в преподавании математики и в связи с ее собственным развитием, хотя, конечно, как правило, внедрение новых идей в преподавание математики довольно значительно отстает от их возникновения в ней самой.

За последние годы в преподавании математики в высших технических учебных заведениях заметны довольно существенные изменения, оказывающие благотворное влияние на математическое образование инженеров. Курс математики приобрел большую, чем раньше, прикладную направленность. Студенты обучаются использованию современной вычислительной техники для численного решения задач. В программу включены необходимые для этого разделы теории, например, элементы теории разностных схем, элементы математической логики и т. п. Обучение численным методам, как правило, основывается на фундаментальном общематематическом образовании. Происходит синтез анализа и линейной алгебры, значительно усилилась роль теории вероятностей и математической статистики, что нашло свое отражение в выделении на них большего числа часов в общем курсе математики, чем прежде. Вообще, следует отметить повышение общего уровня преподавания математики.

Из полезных методических новшеств можно отметить рассмотрение понятия функции как соответствия (это уже начинается со школьного курса и отражает качественно новую точку зрения на функцию), а не с помощью понятия переменной величины, изучение в анализе метода выделения главной части функции как основного метода изучения ее локальных свойств. В связи со всем этим происходит постепенное непрерывное изменение программ преподавания математики во втузах. Эта постепенность разумна, поскольку в традиционном преподавании математики имеется, безусловно, много ценного и полезного. Изучение ряда качественных, аналитических и геометрических методов оправдывает себя и, конечно, будет оправдывать себя еще многие годы. С другой стороны, использование в настоящее время повсеместно ЭВМ предъявляет новые требования к специалистам, которых готовят наши высшие технические и другие учебные заведения. Эти требования должны быть приняты во внимание при обучении студентов уже сегодня.

Вместе с тем, серьезно говорить о замене непрерывной (классической) математики дискретной математикой во всяком случае пока еще рано: несмотря на большие возможности современных вычислительных машин роль непрерывных математических моде" лей в изучении прикладных задач очень велика в настоящее время. Несерьезен и довод сторонников дискретной математики, состоящий в том, что следует отдать предпочтение дискретной математике в силу того, что реальный мир дискретен, и потому дискретная математика его лучше описывает, чем непрерывная. И непрерывная и дискретная математические модели не адекватны реальному явлению. Какую из них лучше применить, это зависит от конкретно изучаемой задачи, от вопросов, на которые нужно ответить, от степени разработанности математических методов, которые можно применить.

В целом надо честно признаться, что мы еще не знаем, как надо наиболее экономно и эффективно учить математике при современных к ней требованиях, не знаем просто потому, что еще не накопилось нужного для этого опыта, не написаны необходимые учебники. Последнее очень важно, потому что сколь бы ни была подробно написана программа, она не может быть повсеместно эффективно введена в действие, если не опубликован соответствующий ей учебник. Вместе с тем отдельные высшие учебные заведения уже накопили интересный опыт модернизированного преподавания математики, поэтому важной и насущной задачей стало изучение этого опыта, выработка общих рекомендаций, написание на основе их общих программ, издание нужных книг, причем не только учебников, но и соответствующих задачников.

При введении новых идей в преподавание математики совершенно необходимо, чтобы эти идеи могли активно применяться учащимися, использоваться ими при решении задач разной трудности, начиная от формальных упражнений и алгоритмических задач до задач, требующих для своего решения определенного уровня изобретательности, при этом набор и тех и других задач должен быть достаточно большим. Студента надо учить думать и работать так, чтобы он умел активно использовать понятия и идеи, с которыми он познакомился в процессе обучения, а этому наиболее эффективно можно научиться с помощью самостоятельного решения задач. Несмотря на то, что это, казалось бы, самоочевидные вещи, о них приходится писать, -так как иногда высказывается мнение, что можно идти по другому пути. Какой из возможных конкретных путей изучения математики в высших учебных заведениях при ныне происходящем изменении ее роли в науке лучше, экономнее, рациональнее, эффективнее покажет время.

Несмотря на все эти трудности, можно все-таки попытаться сформулировать некоторые общие принципы обучения математике в настоящее время и постараться их детализировать применительно к высшим учебным заведениям (ведь хорошо известно, что в общий принцип можно вкладывать весьма далекие друг от друга его конкретные интерпретации. Например, сейчас широко распространено мнение о том, что необходимо сблизить университетское и высшее техническое образование, и каких только конкретных интерпретаций этого не приходится слышать; нередко научный работник-теоретик и инженер-практик вкладывают в эту фразу почти диаметрально противоположный смысл).

В заключение обсуждения вопроса о сущности математики следует подчеркнуть большую роль математического образования при формировании общей культуры человека и, тем самым, большую ответственность в этом направлении, которую несут математики перед обществом.

Поясним более подробно эту сторону математического образования. Изучение математики совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитывает у него точность и обстоятельность аргументации. Математика учит не загромождать исследование ненужными подробностями, не влияющими на сущность дела, и, наоборот, не пренебрегать тем, что имеет принципиальное значение для существа изучаемого вопроса. Все это дает возможность эффективно исследовать и осмысливать новые задачи, возникающие в различных областях человеческой деятельности.

Весьма выразительно черты математического образования, влияющие на культуру человека в целом, были сформулированы в докладе В. Сервэ на той же XIX Международной конференции по народному просвещению; "Среди интеллектуальных свойств, развиваемых математикой, наиболее часто упоминаются те, которые относятся к логическому мышлению: дедуктивное рассуждение, способность к абстрагированию, обобщению, специализации, способность мыслить, анализировать, критиковать. Упражнение в математике содействует приобретению рациональных качеств мысли и ее выражения: порядок, точность, ясность, сжатость. Оно требует воображения и интуиции. Оно дает чутье объективности, интеллектуальную честность, вкус к исследованию и тем самым содействует образованию научного ума.

Изучение математики требует постоянного напряжения, внимания, способности сосредоточиться; оно требует настойчивости и закрепляет хорошие навыки работы.

Таким образом, математика выполняет важную роль как в развитии интеллекта, так и в формировании характера".