Логарифмическая комедия

Задача

В добавление к тем математическим комедиям, с которыми читатель познакомился в главе V, приведем еще образчик того же рода, а именно "доказательство" неравенства 2 > 3. На этот раз в доказательстве участвует логарифмирование. "Комедия" начинается с неравенства

1/4 > 1/8,

бесспорно правильного. Затем следует преобразование:

(1/2)2 > (1/2)3,

также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит,

2lg10 (1/2) > 3lg10 (1/2).

После сокращения на lg₁₀ (1/2) имеем: 2 > 3. В чем ошибка этого доказательства?

Решение

Ошибка в том, что при сокращении на lg₁₀ (1/2) не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как lg₁₀ (1/2) есть число отрицательное. [Если бы мы логарифмировали при основании не 10, а другом, меньшем чем 1/2, то lg (1/2) был бы положителен, но мы не вправе были бы тогда утверждать, что большему числу соответствует больший логарифм.]