Число "е"

Полученное число 2,718..., играющее в высшей математике огромную роль, - не меньшую, пожалуй, чем знаменитое число π, - имеет особое обозначен ние: е. Это - число иррациональное: оно не может быть точно выражено конечным числом цифр^*, но вычисляется только приближенно, с любой степенью точности, с помощью следующего ряда:

1 + 1/1 + 1/(1 × 2) + 1/(1 × 2 × 3) + 1/(1 × 2 × 3 × 4) + 1/(1 × 2 × 3 × 4 × 5) + ...

^* (Кроме того, оно, как и число π, трансцендентно, т. е. не может получиться в результате решения какого бы то ни было алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.)

Из приведенного выше примера с ростом капитала по сложным процентам легко видеть, что число е есть предел выражения

(1 + 1/n)n

при беспредельном возрастании n.

По многим причинам, которых мы здесь изложить не можем, число е очень целесообразно принять за основание системы логарифмов. Такие таблицы ("натуральных логарифмов") существуют и находят себе широкое применение в науке и технике. Те логарифмы-исполины из 48, из 61, из 102 и из 260 цифр, о которых мы говорили ранее, имеют основанием именно число е.

Число е появляется нередко там, где его вовсе не ожидали. Поставим себе, например, такую задачу:

На какие части надо разбить данное число а, чтобы произведение всех частей было наибольшее?

Мы уже знаем, что наибольшее произведение при постоянной сумме дают числа тогда, когда они равны между собой. Ясно, что число а надо разбить на равные части. Но на сколько именно равных частей? На две, на три, на десять? Приемами высшей математики можно установить, что наибольшее произведение получается, когда части возможно ближе к числу е.

Например, 10 надо разбить на такое число равных частей, чтобы части были возможно ближе к 2,718... Для этого надо найти частное

10/2718... = 3,678...

Так как разделить на 3,678... равных частей нельзя, то приходится выбрать делителем ближайшее целое число 4. Мы получим, следовательно, наибольшее произведение частей 10, если эти части равны 10/4, т. е. 2,5.

Значит,

(2,5)4 = 39,0625

есть самое большое число, какое может получиться от перемножения одинаковых частей числа 10. Действительно, разделив 10 на 3 или на 5 равных частей, мы получим меньшие произведения:

(10/3)3 = 37,
(10/5)5 = 32.

Число 20 надо для получения наибольшего произведения его частей разбить на 7 одинаковых частей, потому что

20 : 2,718... = 7,36 ≈ 7.

Число 50 надо разбить на 18 частей, а 100 - на 37, потому что

  50 : 2,718... = 18,4, 
 100 : 2,718... = 36,8.

Число е играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно):

• Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой),
• Формула Эйлера^*,
• Закон охлаждения тел,
• Радиоактивный распад и возраст Земли,
• Колебания маятника в воздухе,
• Формула Циолковского для скорости ракеты^**,
• Колебательные явления в радиоконтуре,
• Рост клеток.

^* (О ней см. ст. "Жюль-верновский силач и формула Эйлера" во 2-й книге моей "Занимательной физики".)

^** (См. мою книгу "Межпланетные путешествия".)