Завещания на сотни лет

Кто не слыхал о том легендарном числе пшеничных зерен, какое будто бы потребовал себе в награду изобретатель шахматной игры? Число это составлялось путем последовательного удвоения единицы: за первое поле шахматной доски изобретатель потребовал 1 зерно, за второе 2 и т. д., все удваивая, до последнего, 64-го поля.

Однако с неожиданной стремительностью числа растут не только при последовательном удвоении, но и при гораздо более умеренной норме увеличения. Капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза. Как будто не столь заметно возрастание. А между тем по прошествии достаточного промежутка времени капитал успевает вырасти в огромную сумму. Этим объясняется поражающее увеличение капиталов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется странным, что, оставляя довольно скромную сумму, завещатель делает распоряжения об уплате огромных капиталов. Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Веньямина Франклина. Оно опубликовано в "Собрании разных сочинений Веньямина Франклина". Вот извлечение из него:

"Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам^*. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4061000 фунтов стерлингов, из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3000000 - правлению Массачузетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов".

^* (В Америке в ту эпоху еще не было кредитных учреждений.)

Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразумения. Математический расчет удостоверяет, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через 100 лет должны превратиться в

x = 1000 ×1,05100 фунтов.

Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов

lg x = lg 1000 + 100 lg 1,05 = 5,11893,

откуда

x = 131000 

в согласии с текстом завещания. Далее, 31000 фунтов в течение следующего столетия превратятся в

y = 31000 × 1,05100,

откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим:

y = 4076500

- сумму, несущественно отличающуюся от указанной в завещании.

Предоставляю читателю самостоятельно решить следующую задачу, почерпнутую из "Господ Головлевых" Салтыкова:

"Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей".

Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и сделав допущение, что он произвел вычисление правильно (допущение маловероятное, так как едва ли Головлев знал логарифмы и справлялся со сложными процентами), требуется установить, по скольку процентов платил в то время ломбард.