Яблоки

Задача

Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока: третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил

x/2 + 1/2 = (x + 1)/2,

второй

1/2(x - (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/22,

третий

1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/23,

седьмой покупатель

(х + 1)/27.

Имеем уравнение

(х + 1)/2 + (х + 1)/22 + (х + 1)/23 + ... + (х + 1)/27 = x

или

(x + 1)(1/2 + 1/22 + 1/23 + ... + 1/27) = x.

Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем:

х/(x + 1) = 1 - 1/27 

и

х = 27 - 1 = 127.

Всех яблок было 127.