Бригада землекопов

Задача

Старшеклассники обязались вырыть на школьном участке канаву и организовали для этого бригаду землекопов. Если бы бригада работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе приступил сначала только один член бригады. Спустя некоторое время присоединился второй; еще через столько же времени - третий, за ним через такой же промежуток четвертый и так до последнего. При расчете оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

Рис. 35. Старшеклассники обязались вырыть на школьном участке канаву и организовали для этого бригаду землекопов

Решение

Пусть последний член бригады работал х часов, тогда первый работал Их часов. Далее, если число рывших канаву учеников было у, то общее число часов работы определится как сумма у членов убывающей прогрессии, первый член которой Иле, а последний х, т. е.

((11х + х)у)/2 = 6xy. 

С другой стороны, известно, что бригаду из y человек, работая в полном составе, выкопала бы канаву в 24 часа, т. е. что для выполнения работы необходимо 24y рабочих часов. Следовательно,

6хy = 24y.

Число y не может равняться нулю; на этот множитель можно поэтому уравнение сократить, после чего получаем:

6x = 24

и

х = 4.

Итак, член бригады, приступивший к работе последним, работал 4 часа.

Мы ответили на вопрос задачи; но если бы мы полюбопытствовали узнать, сколько рабочих входило в бригаду, то не могли бы этого определить, несмотря на то, что в уравнении число это фигурировало (под буквой y). Для решения этого вопроса в задаче не приведено достаточных данных.