Кормление кур

Задача

Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур каждую неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок.

Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?

Решение

Пусть запасено было х декалитров корма на y недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру на курицу в неделю, то

х = 31y.

В первую неделю израсходовано было 31 дл, во вторую 30, в третью 29 и т. д. до последней недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было:

(31 - 2y + 1) дл*.

^*Поясним: расход корма в течение

 1-й  недели 31 дл, 
 2-й  недели 31 - 1 дл, 
 3-й  недели 31 - 2 дл, 
 ...........................................
 2y-й недели 31 - (2y - 1) = 31 - 2y + 1 дл.

Весь запас составлял, следовательно,

x = 31y = 31 - 30 + 29 + ... + (31 - 2у + 1).

Сумма 2у членов прогрессии, первый член которой 31, а последний 31 - 2у + 1, равна

31y = ((31 + 31 - 2y + 1)2y)/2 = (63 - 2y)y.

Так как y не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получаем:

31 = 63 - 2y и y = 16,

откуда

х = 31y = 496.

Запасено было 496 декалитров корма на 16 недель.