Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Самое яркое освещение

Задача

На какой высоте над столом должно находиться пламя свечи, чтобы всего ярче освещать лежащую на столе монету?

Рис. 32. На какой высоте над столом должно находиться пламя свечи, чтобы всего ярче освещать лежащую на столе монету?
Рис. 32. На какой высоте над столом должно находиться пламя свечи, чтобы всего ярче освещать лежащую на столе монету?

Решение

Может показаться, что для достижения наилучшего освещения надо поместить пламя возможно ниже. Это неверно: при низком положении пламени лучи падают очень отлого. Поднять свечу так, чтобы лучи падали круто, - значит удалить источник света. Наиболее выгодна в смысле освещения, очевидно, некоторая средняя высота пламени над столом. Обозначим ее через х (рис. 32). Расстояние ВС монеты В от основания С перпендикуляра, проходящего через пламя А, обозначим через а. Если яркость пламени i, то освещенность монеты согласно законам оптики выразится так:


где α - угол падения пучка лучей АВ. Так как

                           ________
cos α =  cos A = x/AB = x/√(a2 + x2),

то освещенность равна

                 ________
i/(а2 + х2) × x/	√(a2 + x2) = ix/(a2 + x2)3/2.

Это выражение достигает максимума при том же значении х, что и его квадрат, т. е.

i2x2/(a2 + x2)3.

Множитель i2 как величину постоянную опускаем, а остальную часть исследуемого выражения преобразуем так:

x2/(a2 + x2)3 = 1/(x2 + a2)2 × (1 - a2/(x2 + a2)) = (1/(x2 + a2))2 × (1 - a2/(x2 + a2)). 

Преобразованное выражение достигает максимума одновременно с выражением

(a2/(x2 + a2))2 × (1 - a2/(x2 + a2)).

так как введенный постоянный множитель а4 не влияет на то значение х, при котором произведение достигает максимума. Замечая, что сумма первых степеней этих множителей

a2/(x2 + a2) + (1 - a2/(x2 + a2)) = 1

есть величина постоянная, заключаем, что рассматриваемое произведение становится наибольшим, когда

a2/(x2 + a2) : (1 - a2/(x2 + a2)) = 2 : 1

Имеем уравнение

а2 = 2x2 + 2а2 - 2а2. 

Решив это уравнение, находим:

       _
x = a/√2 ≈ 0,71a.

Монета освещается всего ярче, когда источник света находится на высоте 0,71 расстояния от проекции источника до монеты. Знание этого соотношения помогает при устройстве наилучшего освещения рабочего места.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru