Два земельных участка

Задачи

1. Какой формы должен быть прямоугольный участок данной площади, чтобы длина ограничивающей его изгороди была наименьшей?
2. Какой формы должен быть прямоугольный участок, чтобы при данной длине изгороди площадь его была наибольшей?

Решения

1. Форма прямоугольного участка определяется соотношением его сторон х и y. Площадь участка со сторонами х и y равна хy, а длина изгороди 2х + 2y. Длина изгороди будет наименьшей, если х + y достигнет наименьшей величины.

При постоянном произведении хy сумма х + y наименьшая в случае равенства х = y. Следовательно, искомый прямоугольник - квадрат.

2. Если х и y - стороны прямоугольника, то длина изгороди 2х + 2y, а площадь хy. Это произведение будет наибольшим тогда же, когда и произведение 4хy, т. е. 2х × 2y; последнее же произведение при постоянной сумме его множителей 2х + 2y становится наибольшим при 2х = 2y, т. е. когда участок имеет форму квадрата.

К известным нам из геометрии свойствам квадрата мы можем, следовательно, прибавить еще следующее: из всех прямоугольников он обладает наименьшим периметром при данной площади и наибольшей площадью при данном периметре.