Когда произведение наибольшее?

Для решения многих задач "на максимум и минимум", т. е. на разыскание наибольшего и наименьшего значений переменной величины, можно успешно пользоваться одной алгебраической теоремой, с которой мы сейчас познакомимся. Рассмотрим следующую задачу:

На какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

Решение

Пусть данное число а. Тогда части, на которые разбито число а, можно обозначить через

а/2 + x и a/2 - x;

число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а. Произведение обеих частей равно

(а/2 + x)(a/2 - x) = a2/4 - x2.

Ясно, что произведение взятых частей будет увеличиваться при уменьшении х, т. е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произведение будет при x = 0, т. е. в случае, когда обе части равны a/2.

Итак, число надо разделить пополам: произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.

Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.

На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

Решение

При решении этой задачи будем опираться на предыдущую.

Пусть число а разбито на три части. Предположим сначала, что ни одна из частей не равна a/3.Тогда среди них найдется часть, большая a/3 (все три не могут быть меньше a/3); обозначим ее через

a/3 + x.

Точно так же среди них найдется часть, меньшая a/3; обозначим ее через

a/3 - y.

Числа х и у положительны. Третья часть будет, очевидно, равна

a/3 + y - x.

Числа a/3 и a/3 + x - y имеют ту же сумму, что и первые две части числа а, а разность между ними, т. е. х - y, меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х + y. Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение

a/3(a/3 + x - y)

больше, чем произведение первых двух частей числа а.

Итак, если первые две части числа а заменить числами

a/3 и  a/3 + x - y,

а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.

Пусть теперь одна из частей уже равна a/3. Тогда две другие имеют вид

a/3 + z и a/3 - z.

Если мы эти две последние части сделаем равными a/3 (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным

a/3 × a/3 × a/3 = a3/27.

Итак, если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем а³/27, т. е. чем произведение трех равных сомножителей, в сумме составляющих а.

Подобным же образом можно доказать эту теорему и для четырех множителей, для пяти и т. д.

Рассмотрим теперь более общий случай.

Найти, при каких значениях х и y выражение х^pу^q наибольшее, если х + y = а.

Решение

Надо найти, при каком значении х выражение

х^р (а - х)^q

достигает наибольшей величины.

Умножим это выражение на число 1/р^pq^q. Получим новое выражение

xp/pp × (a - x)q/qq,

которое, очевидно, достигает наибольшей величины тогда же, когда и первоначальное.

Представим полученное сейчас выражение в виде

Сумма всех множителей этого выражения равна

т. е. величине постоянной.

На основании ранее доказанного заключаем, что произведение

x/p × x/p × x/p ... × (a - x)/q × (a - x)/q × (a - x)/q ...

достигает максимума при равенстве всех его отдельных множителей, т. е. когда

x/p = (a - x)/q.

Зная, что а - х = y, получаем, переставив члены, пропорцию

x/y = p/q.

Итак, произведение х^py^q при постоянстве суммы х + у достигает наибольшей величины тогда, когда

x : y = p : q.

Таким же образом можно доказать, что произведения

xpyqzr, xpyqzrtu и т. п.

при постоянстве сумм x + y + z, x + y + z + t и т. д. достигают наибольшей величины тогда, когда

х : у : z = p : q : r, х : у : z : t = p : q : r : u и т. д.