Какие числа?

Задача

Найти три последовательных числа, отличающихся тем свойством, что квадрат среднего на 1 больше про изведения двух остальных.

Решение

Если первое из искомых чисел х, то уравнение имеет вид

(x + 1)2 = х(х + 2) + 1.

Раскрыв скобки, получаем равенство

х2 + 2x + 1 = x2 + 2х + 1,

из которого нельзя определить величину х. Это показывает, что составленное нами равенство есть тождество; оно справедливо при любом значении входящей в него буквы, а не при некоторых лишь, как в случае уравнения. Значит, всякие три последовательных числа обладают требуемым свойством. В самом деле, возьмем наугад числа

17, 18, 19.

Мы убеждаемся, что

182 - 17 × 19 = 324 - 323 = 1. 

Необходимость такого соотношения выступает нагляднее, если обозначить через х второе число. Тогда получим равенство

х2 - 1 = (x + 1)(х - 1),

т. е. очевидное тождество.