"Трудная задача"

Картина Богданова-Бельского "Трудная задача" известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:

(102 + 112 + 122 + 132 + 142)/365.

Рис. 18. Картина Богданова-Бельского 'Трудная задача'

Задача в самом деле нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С. А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел. Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью: 10² + 11² + 12² = 13² + 14².

Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

Решение

Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

 x2 + (х + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.

Удобнее, однако, обозначить через х не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

 (x - 1)2 + x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x + 3)2.

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

 x2 - 10x - 11 = 0,

откуда

          _________
 x = 5 ± √(25 + 11), х1 = 11, x2 = -1.

Существуют, следовательно, два ряда чисел, об-" ладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10, 11, 12, 13, 14

и ряд

-2, -1, 0, 1, 2.

В самом деле,

(-2)² +(-1)² + 0² = 1² + 2².