Пчелиный рой

Задача

В древней Индии распространен был своеобразный вид спорта - публичное соревнование в решении головоломных задач. Индусские математические руководства имели отчасти целью служить пособием для подобных состязаний на первенство в умственном спорте. "По изложенным здесь правилам, - пишет составитель одного из таких учебников, - мудрый может придумать тысячу других задач. Как солнце блеском своим затмевает звезды, так и ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи". В подлиннике это высказано поэтичнее, так как вся книга написана стихами. Задачи тоже облекались в форму стихотворений. Приведем одну из них в прозаической передаче.

Пчелы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя 8/9 роя. И только одна пчелка из того же роя кружится возле лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню сладко пахнущего цветка. Сколько всего было пчел в рое?

Решение

Если обозначить искомую численность роя через х, то уравнение имеет вид

 _____
√(x/2) + 8/9x + 2 = x.

Мы можем придать ему более простой вид, введя вспомогательное неизвестное

     _____
y = √(x/2),

Тогда х = 2у², и уравнение получится такое:

y + 16y2/9 + 2 = 2y2, или 2у2 - 9у - 18 = 0.

Решив его, получаем два значения для у:

y1 = 6, y2 = - 3/2.

Соответствующие значения для х:

x1 = 72, х2 = 4,5.

Так как число пчел должно быть целое и положительное, то удовлетворяет задаче только первый корень: рой состоял из 72 пчел. Проверим:

 ______
√(72/2) + 8/9 × 72 + 2 = 6 + 64 + 2 + 72.