Алгебраические комедии

Задача 1

Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2*2=5, 2=3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка - довольно элементарная - несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.

Первая:

2 = 3.

На сцене сперва появляется неоспоримое равенство

4 - 10 = 9 - 15.

В следующем "явлении" к обеим частям равенства прибавляется по равной величине 6 1/4:

4 - 10 + 6 1/4 = 9 - 15 + 6 1/4.

Дальнейший ход комедии состоит в преобразованиях:

22 - 2 × 2 × 5/2 + (5/2)2 = 32 - 2 × 3 × 5/2 + (5/2)2,

(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2.

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получают:

2 - 5/2 = 3 - 5/2.

Прибавляя по 5/2 к обеим частям, приходят к нелепому равенству

2 = 3.

В чем же кроется ошибка?

Решение

Ошибка проскользнула в следующем заключении: из того, что

(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2,

был сделан вывод, что

2 - 5/2 = 3 - 5/2.

Но из того, что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь (-5)² = 5², но -5 не равно 5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками. В нашем примере мы имеем именно такой случай:

(-1/2)2 = (1/2)2,

но -1/2 не равно 1/2.

Задача 2

Другой алгебраический фарс (рис. 15)

2 × 2 = 5

Рис. 15. Другой алгебраический фарс

разыгрывается по образцу предыдущего и основан на том же трюке. На сцене появляется не внушающее сомнения равенство

16 - 36 = 25 - 45.

Прибавляются равные числа:

16 - 36 + 20 1/4 = 25 - 45 + 20 1/4 

и делаются следующие преобразования:

 42 - 2 × 4 × 9/2 + (9/2)2 = 52 - 2 × 5 × 9/2 + (9/2)2. 

                                   (4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2. 

Затем с помощью того же незаконного заключения переходят к финалу:

4 - 9/2 = 5 - 9/2. 

      4 = 5, 

  2 × 2 = 5. 

Эти комические случаи должны предостеречь малоопытного математика от неосмотрительных операций с уравнениями, содержащими неизвестное под знаком корня.