Два двузначных числа

Задача

Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры.

Действительно,

46 × 96 = 4416 = 64 × 69.

Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?

Решение

Обозначив цифры искомых чисел через х и y, z и t, составляем уравнение

(10x + y)(10z + t) = (10y + x)(10t + z).

Раскрыв скобки, получаем после упрощений:

xz = yt,

где х, y, z, t - целые числа, меньшие 10. Для разыскав ния решений составляем из 9 цифр все пары с равными произведениями:

 1 × 4 = 2 × 2  2 × 8 = 4 × 4 
 1 × 6 = 2 × 3  2 × 9 = 3 × 6 
 1 × 8 = 2 × 4  3 × 8 = 4 × 6 
 1 × 9 = 3 × 3  4 × 9 = 6 × 6 
 2 × 6 = 3 × 4 

Всех равенств 9. Из каждого можно составить одну или две искомые группы чисел. Например, из равенства 1 × 4 = 2 × 2 составляем одно решение:

12 × 42 = 21 × 24.

Из равенства 1 × 6 = 2 × 3 находим два решения:

12 × 63 = 21 × 36, 13 × 62 = 31 × 26.

Таким образом разыскиваем следующие 14 решений:

12 × 42 = 21 × 24  23 × 96 = 32 × 69
12 × 63 = 21 × 36  24 × 63 = 42 × 36
12 × 84 = 21 × 48  24 × 84 = 42 × 48
13 × 62 = 31 × 26  26 × 93 = 62 × 39
13 × 93 = 31 × 39  34 × 86 = 43 × 68
14 × 82 = 41 × 28  36 × 84 = 63 × 48
23 × 64 = 32 × 46  46 × 96 = 64 × 69