Какой прямоугольник?

Задача

Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади?

Решение

Обозначив стороны прямоугольника через х и у, составляем уравнение

2х + 2y = хy,

откуда

x = 2y/(y - 2).

Так как х и y должны быть положительными, то положительным должно быть и число y - 2, т. е. y должно быть больше 2.

Заметим теперь, что

x = 2y/(y - 2) = (2(y - 2) + 4)/(y - 2) = 2 + 4/(y - 2).

Так как х должно быть целым числом, то выражение 4/(y - 2) должно быть целым числом. Но при y > 2 это возможно лишь, если у равно 3, 4 или 6. Соответствующие значения х будут 6, 4, 3.

Итак, искомая фигура есть либо прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.