Два числа и четыре действия

Задача

Предыдущую задачу, которая привела к трем уравнениям с пятью неизвестными, мы решили не по общему образцу, а по свободному математическому соображению. Точно так же будем решать и следующие задачи, приводящие к неопределенным уравнениям второй степени.

Вот первая из них.

Над двумя целыми положительными числами были выполнены следующие четыре действия:

1. их сложили;
2. вычли из большего меньшее;
3. перемножили;
4. разделили большее на меньшее.

Полученные результаты сложили - составилось 243. Найти эти числа.

Решение

Если большее число х, меньшее y, то

(х + y) + (х - y) + xy + x/y = 243.

Если это уравнение умножить на у, затем раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим:

х(2y + у2 + 1) = 243у.

Но 2y + y² + 1 = (у + 1)². Поэтому

x = 243y/(y + 1)2. 

Чтобы х было целым числом, знаменатель (у + 1)² должен быть одним из делителей числа 243 (потому что у не может иметь общие множители с y +1). Зная, что 243 = 3⁵, заключаем, что 243 делится только на следующие числа, являющиеся точными квадратами: 1, 3², 9². Итак, (y + 1)² должно быть равно 1, 3² или 9², откуда (вспоминая, что y должно быть положительным) находим, что y равно 8 или 2.

Тогда х равно

(243 × 8)/81 или (243 × 2)/9.

Итак, искомые числа: 24 и 8 или 54 и 2.