Продажа кур

Старинная задача

Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей.

По какой цене продавали они кур до и после полудня?

Решение

Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня, через х, у, z. Во вторую половину дня они продали 10 - х, 16 - у, 26 - z кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня - через n. Для ясности сопоставим эти обозначения:

Первая сестра выручила:

mх + n(10 - х); следовательно, mx + n(10 - x) = 35;

вторая:

mу + n(16 - у); следовательно, mу + n(16 - y) = 35;

третья:

mz + n(26 - z); следовательно, mz + n(26 - z) = 35.

Преобразуем эти три уравнения:

Вычтя из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:

или

Делим первое из этих уравнений на второе:

(x - z)/(у - z) = 8/5, или (x - z)/8 = (y - z)/5. 

Так как х, у, z - числа целые, то и разности x - z, у - z - тоже целые числа. Поэтому для существования равенства

(x - z)/8 = (y - z)/5

необходимо, чтобы x - z делилось на 8, a y - z на 5.

Следовательно,

(x - z)/8 = t = (y - z)/5,

откуда

 x = z + 8t, 
 у = z + 5t.

Заметим, что число t - не только целое, но и положительное, так как x > z (в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья).

Так как x < 10, то

z + 8t < 10.

При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z = 1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения

x = z + 8t и y = z + 5t,

находим: х = 9, у = 6.

Теперь, обращаясь к уравнениям

mх + n(10 - х) = 35,
mу + n(16 - y) = 35,
mz + n(26 - z) = 35

и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры:

m = 3 3/4 руб., n = 1 1/4 руб.

Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.