Покупка почтовых марок

Задача

Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок - копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?

Решение

В этом случае у нас имеется два уравнения с тремя неизвестными:

x + 4y + 12z = 100, 
x +  y +  z  =  40,

где х - число копеечных марок, у - 4-копеечных, z - 12-копеечных.

Вычитая из первого уравнения второе, получим одно уравнение с двумя неизвестными:

3y + 11z = 60.

Находим у:

y = 20 - 11t,
z = 3t.

Очевидно, z/3 - число целое. Обозначим его через t.

Имеем:

у = 20 - 11t, 
z = 3t.

Подставляем выражения для у и z во второе из исходных уравнений:

x + 20 - 11t + 3t = 40; 

получаем:

x = 20 + 8t.

Так как x ≥ 0, y ≥ 0 и z ≥ 0, то нетрудно установить границы для t:

 0 ≤ t ≤ 1 9/11,

откуда заключаем, что для t возможны только два целых значения:

t = 0 и t = 1.

Соответствующие значения х, у и z таковы:

Проверка

20 × 1 + 20 × 4 + 0 × 12 = 100, 
28 × 1 +  9 × 4 + 3 × 12 = 100.

Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами (а если потребовать, чтобы была куплена хотя бы одна марка каждого достоинства,- то только одним способом).

Следующая задача - в том же роде.