Покупка фруктов

Задача

На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы:

арбуз,  штука 50 коп.
яблоки, штука 10 коп.
сливы,  штука  1 коп.

Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Решение

Обозначив число арбузов через х, яблок через у и слив через z, составляем два уравнения:

Вычтя из первого уравнения второе, получим одно уравнение с двумя неизвестными:

49x + 9y = 400.

Дальнейший ход решения таков:

y = (400 - 49x)/9 = 44 - 5x + (4(1 - x))/9 = 44 - 5x + 4t,
t = (1 - x)/9, x = 1 - 9t,
у = 44 - 5(1 - 9t)+ 4t = 39 + 49t.

Из неравенств

1 - 9t ≥ 0 и 39 + 49t ≥ 0

устанавливаем, что

1/9 ≥ t ≥ -39/49

и, следовательно, t = 0. Поэтому

х = 1, у = 39.

Подставив эти значения х и у во второе уравнение, получаем: z = 60.

Итак, куплены были 1 арбуз, 39 яблок и 60 слив. Других комбинаций быть не может.