Ревизия магазина

Задача

При ревизии торговых книг магазина одна из записей оказалась залитой чернилами и имела такой вид:

Невозможно было разобрать число проданных метров, но было несомненно, что число это не дробное; в вырученной сумме можно было различить только последние три цифры, да установить еще, что перед ними были три какие-то другие цифры.

Может ли ревизионная комиссия по этим следам установить запись?

Решение

Обозначим число метров через х. Вырученная сумма выразится в копейках через

4936x.

Число, выражаемое тремя залитыми цифрами в записи денежной суммы, обозначим через у. Это, очевидно, число тысяч копеек, а вся сумма в копейках изобразится так:

1000y + 728.

Имеем уравнение

4936x = 1000y + 728,

или, после сокращения на 8,

617x - 125y = 91.

В этом уравнении х и у - числа целые и притом у не больше 999, так как более чем из трех цифр оно состоять не может. Решаем уравнение, как раньше было указано:

125у = 617х - 91,
y = 5x - 1 + (34 - 8x)/125 = 5x - 1 + (2(17 - 4x))/125 = 5x - 1 + 2t.

(Здесь мы приняли 617/125 = 5 - 8/125, так как нам выгодно иметь возможно меньшие остатки. Дробь

(2(17 - 4x))/125

есть целое число, а так как 2 не делится на 125, то (17 - 4x)/125 должно быть целым числом, которое мы и обозначили через t.)

Далее из уравнения

(17 - 4х)/125 = t

имеем:

17 - 4x = 125t,
x = 4 - 31t + (1 - t)/4 = 4 - 31t + t1, 

где

t1 = (1 - t)/4,

и, следовательно,

4t1 = 1 - t;
t = 1 - 4t1;
x = 125t1 - 27,
y = 617t1 - 134* 

^* (Обратите внимание на то, что коэффициенты при t₁ равны коэффициентам при х и у в исходном уравнении 617x - 125y = 91, причем у одного из коэффициентов при t₁ знак обратный. Это не случайность: можно доказать, что так должно быть всегда, если коэффициенты при х и у - взаимно простые.)

Мы знаем, что

100 ≤	y < 1000.

Следовательно,

100 ≤	617t1 - 134 < 1000,

откуда

t1 ≥ 234/617 и t1 < 1134/617.

Очевидно, для t₁ существует только одно целое значение:

t1 = 1,

и тогда

x = 98, y = 483,

т. е. было отпущено 98 метров на сумму 4837 р. 28 к. Запись восстановлена.