Теорема Софии Жермен

Вот задача, предложенная известным французским математиком Софией Жермен:

Доказать, что каждое число вида а⁴ + 4 есть составное (если а не равно 1).

Решение

Доказательство вытекает из следующих преобразований:

а4 + 4 = а4 + 4а2 + 4 - 4а2 = (а2 + 2)2 - 4а2 = (а2 + 2)2 - (2а)2 = (а2 + 2 - 2а) (а2 + 2 + 2а).

Число a⁴ + 4 может быть, как мы убеждаемся, представлено в виде произведения двух множителей, не равных ему самому и единице^*, иными словами, оно - составное.

^* (Последнее - потому, что а² + 2 - 2а = (а² - 2а + 1) + 1 = (а - 1)² + 1 ≠ 1, если a ≠ 1.)