Делимость на 19

Обосновать следующий признак делимости на 19.

Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Решение

Всякое число N можно представить в виде

N = 10x + y,

где х - число десятков (не цифра в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе), у - цифра единиц. Нам нужно показать, что N кратно 19 тогда и только тогда, когда

N' = x + 2y

кратно 19. Для этого умножим N' на 10 и из этого произведения вычтем N; получим:

10N' - N = 10{x + 2y) - (10x + y) = 19y.

Отсюда видно, что если N' кратно 19, то и

N = 10N'- 19y

делится без остатка на 19; и обратно, если N делится без остатка на 19, то

10N' = N + 19y

кратно 19, а тогда, очевидно, и N' делится без остатка на 19.

Пусть, например, требуется определить, делится ли на 19 число 47045881.

Применяем последовательно наш признак делимости:

Так как 19 делится на 19 без остатка, то кратны 19 и числа 57, 475, 4712, 47063, 470459, 4704590, 47045881.

Итак, наше число делится на 19.