Номер автомашины

Задача

Прогуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математиками, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифры числа были одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через a, а третью (и четвертую) - через b. Тогда все число будет равно:

1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b).

Число это делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11². Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число a + b. Но это значит, что

a + b = 11,

так как каждая из цифр a, b меньше десяти.

Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения:

0, 1, 4, 5, 6, 9.

Поэтому для цифры а, которая равна 11 - b, находим такие возможные значения:

11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

 b = 4, а = 7; 
 b = 5, a = 6; 
 b = 6, a = 5; 
 b = 9, а = 2. 

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырех чисел:

7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 5566 делится на 2, но не делится на 4; число 2299 = 121 × 19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88²; оно и дает решение задачи.