Делимость на 11

Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 общеизвестны. Выведем признак делимости на 11; он довольно прост и практичен.

Пусть многозначное число N имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.

N = а + 10b + 100с + 1000d + ... = a + 10 (b + 10c + 100d + ...),

где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из N число 11(b + 10с + 100d + ...), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,

а - b - 10(c + 10d + ...),

будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Прибавив к этой разности число ll(c + 10d + ...), кратное одиннадцати, мы получим число

a - b + c + 10(d + ...).

также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число N. Вычтем из него число 11(d + ...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы получим число

a - b + c - d + ... = (а + с + ...) - (b + d + ...),

имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число N.

Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.

Испытаем, например, число 87635064:

 8 + 6 + 5 + 6 = 25, 
 7 + 3 + 0 + 4 = 14, 
 25 - 14 = 11. 

Значит, данное число делится на 11.

Существует и другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае - нет. Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5/28) и складываем обе грани:

5 + 28 = 33. 

Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11:

528 : 11 = 48.

Докажем этот признак делимости. Разобьем многозначное число N на грани. Тогда мы получим двузначные (или однозначные^*) числа, которые обозначим (справа налево) через а, b, с и т. д., так что число N можно будет записать в виде

N = a + 100b + 10000с + ... = a + 100(b + 100с + ...).

^* (Если число N имело нечетное число цифр, то последняя (самая левая) грань будет однозначной. Кроме того, грань вида 03 также следует рассматривать как однозначное число 3.)

Вычтем из N число 99(b + 100с + ...), кратное одиннадцати. Полученное число

а + (b + 100с + ...) = a + b + 100(с + ...)

будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Из этого числа вычтем число 99(с + ...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и число

а + b + с + ...