Доплата

Старинная народная задача

Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежавший им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

Решение

Задача не поддается прямому переводу "на алгебраический язык", для нее нельзя составить уравнения. Приходится решать ее особым путем, так сказать, по свободному математическому соображению. Но и здесь алгебра оказывает арифметике существенную помощь.

Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n². Какова же цифра единиц?

Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.

В самом деле, квадрат всякого числа из а десятков и b единиц, т. е. (10а + b)², равен

100a2 + 20ab + b2 = (l0a2 + 2ab) × 10 + b2.

Десятков в этом числе 10a² + 2ab, да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10a² + 2ab делится на 2 - это число четное. Поэтому число десятков, заключающихся в (10а + b)², будет нечетным, лишь если в числе b² окажется нечетное число десятков. Вспомним, что такое b². Это - квадрат цифры единиц, т. е. одно из следующих 10 чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Среди них нечетное число десятков имеют только 16 и 36 - оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат

100a2 + 20ab + b2

может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.

Теперь легко найти ответ на вопрос задачи. Ясно, что ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил, следовательно, на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен дополучить от своего компаньона 2 рубля.

Доплата равна 2 рублям.