Бесконечные "числа"

Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы покажем, бесконечно велико.

Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трехзначная группа цифр тоже обладала требуемым свойством.

Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через k. Тогда искомое трехзначное число изобразится:

100k + 76.

Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:

1000а + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 и т. д. 

Перемножим два числа этого вида; получим:

1000000аb + 100000ak + 100000bk + 76000а + 76000b + 10000k2 + 15200k + 5776.

Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 1006+76, если разность

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

делится на 1000. Это, очевидно, будет только при k = 3.

Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например:

3762 = 141376.

Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спереди. Если эту цифру обозначим через l, то придем к задаче: при каком l произведение

(10000а + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

оканчивается на 1000l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на 4 нуля и более, то останутся члены

752000l + 141376.

Произведение оканчивается на 1000l + 376, если разность

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

делится на 10000. Это, очевидно, будет только при l = 9.

Искомая четырехзначная группа цифр 9376.

Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109376, затем 7109376 и т. д.

Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное число раз. В результате мы получим "число", у которого бесконечно много цифр:

...7109376.

Подобные "числа" можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение ("столбиком") также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислять одну цифру за другой - сколько угодно цифр.

Интересно, что написанное выше бесконечное "число" удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению

х2 = х.

Б самом деле, квадрат этого "числа" (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного "числа" оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры "числа" x², где х =... 7109376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что х² = х.

Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76^*. Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 и т. д.

^* (Заметим, что двузначная группа цифр 76 может быть найдена при помощи рассуждений, аналогичных приведенным выше: достаточно решить вопрос о том, какую цифру надо спереди приписать к цифре 6, чтобы полученная двузначная группа цифр обладала рассматриваемым свойством. Поэтому "число" ... 7109376 можно получить, приписывая спереди одну за другой цифры к шестерке.)

В результате мы сможем написать еще одно бесконечное "число"

...2890625,

также удовлетворяющее уравнению х² = х. Можно было бы показать, что это бесконечное "число" "равно"

5222...

Полученный интересный результат на языке бесконечных "чисел" формулируется так: уравнение х² = х имеет (кроме обычных х = 0 и x = 1) два "бесконечных" решения:

х = ...7109376 и x = ...2890625,

а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет^*.

^* (Бесконечные "числа" можно рассматривать не только в десятичной, айв других системах счисления. Такие числа, рассматриваемые в системе счисления с основанием р, называются р-адическими числами. Кое-что об этих числах можно прочесть в книге Е. Б. Дынкина и В. А. Успенского "Математические беседы" (Гостехиздат, 1952).)