Составные числа

Число так называемых простых чисел, т. е. целых чисел, больших единицы, не делящихся без остатка ни на какие другие целые числа, кроме единицы и самих себя, бесконечно велико.

Начинаясь числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ..., ряд их простирается без конца. Вклиниваясь между числами составными, они разбивают натуральный ряд чисел на более или менее длинные участки составных чисел. Какой длины бывают эти участки? Следует ли где-нибудь подряд, например, тысяча составных чисел, не прерываясь ни одним простым числом?

Можно доказать, - хотя это и может показаться неправдоподобным, - что участки составных чисел между простыми бывают любой длины. Нет границы для длины таких участков: они могут состоять из тысячи, из миллиона, из триллиона и т. д. составных чисел.

Для удобства будем пользоваться условным символом n!, который обозначает произведение всех чисел от 1 до n включительно. Например 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. Мы сейчас докажем, что ряд

[(n + 1)! + 2], [(n + 1)! + 3], [(n + 1)! + 4], ... до [(n + 1)! + n + 1]

включительно состоит из n последовательных составных чисел.

Числа эти идут непосредственно друг за другом в натуральном ряду, так как каждое следующее на 1 больше предыдущего. Остается доказать, что все они - составные.

Первое число

(n + 1)! + 2 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × ... × (n + 1) + 2

- четное, так как оба его слагаемых содержат множитель 2. А всякое четное число, большее 2, - составное.

Второе число

(n + 1)! + 3 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ... × (n + 1) + 3

состоит из двух слагаемых, каждое из которых кратно 3. Значит, и это число составное.

Третье число

(n + 1)! + 4 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ... × (n + 1) + 4

делится без остатка на 4, так как состоит из слагаемых, кратных 4.

Подобным же образом устанавливаем, что следующее число

(n + 1)! + 5

кратно 5 и т. д. Иначе говоря, каждое число нашего ряда содержит множитель, отличный от единицы и его самого; оно является, следовательно, составным.

Если вы желаете написать, например, пять последовательных составных чисел, вам достаточно в приведенный выше ряд подставить вместо n число 5. Вы получите ряд

722, 723, 724, 725, 726.

Но это - не единственный ряд из пяти последовательных составных чисел. Имеются и другие, например,

62, 63, 64, 65, 66.

Или еще меньшие числа:

24, 25, 26, 27, 28.

Попробуем теперь решить задачу:

Написать десять последовательных составных чисел.

Решение

На основании ранее сказанного устанавливаем, что в качестве первого из искомых десяти чисел можно взять

1 × 2 × 3 × 4 × ... × 10 × 11 + 2 = 39816802.

Искомой серией чисел, следовательно, может служить такая!

39816802, 39816803, 39816804 и т. д. 

Однако существуют серии из десяти гораздо меньших последовательных составных чисел. Так, можно указать на серию даже не из десяти, а из тринадцати составных последовательных чисел уже во второй сотне:

114, 115, 116, 117 и т. д. до 126 включительно.