Средняя скорость езды

Задача

Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 километров в час и возвратился со скоростью 40 километров в час. Какова была средняя скорость его езды?

Решение

Обманчивая простота задачи вводит многих в заблуждение. Не вникнув в условия вопроса, вычисляют среднее арифметическое между 60 и 40, т. е. находят полусумму

(60 + 40)/2 = 50.

Это "простое" решение было бы правильно, если бы поездка в одну сторону и в обратном направлении длилась одинаковое время. Но ясно, что обратная поездка (с меньшей скоростью) должна была отнять больше времени, чем езда туда. Учтя это, мы поймем, что ответ 50 - неверен.

И действительно, уравнение дает другой ответ. Составить уравнение нетрудно, если ввести вспомогательное неизвестное - именно величину l расстояния между городами. Обозначив искомую среднюю скорость через х, составляем уравнение

2l/x = l/60 + l/40.

Так как l не равно нулю, можем уравнение разделить на l; получаем:

2/x = 1/60 + 1/40,

откуда

x = 2/(1/60 + 1/40) = 48.

Итак, правильный ответ не 50 километров в час, а 48.

Если бы мы решали эту же задачу в буквенных обозначениях (туда автомобиль ехал со скоростью а километров в час, обратно - со скоростью b километров в час), то получили бы уравнение

2l/x = l/a + l/b,

откуда для х получаем значение

2/(1/a + 1/b).

Эта величина называется средним гармоническим для величин а и b.

Итак, средняя скорость езды выражается не средним арифметическим, а средним гармоническим для скоростей движения. Для положительных а и b среднее гармоническое всегда меньше, чем их среднее арифметическое

(а + b)/2,

что мы и видели на численном примере (48 меньше, чем 50).