Состязание мотоциклов

Задача

При мотоциклетных состязаниях одна из трех стартовавших одновременно машин, делавшая в час на 15 км меньше первой и на 3 км больше третьей, пришла к конечному пункту на 12 минут позже первой и на 3 минуты раньше третьей. Остановок в пути не было.

Требуется определить:

• а) Как велик участок пути?
• б) Как велика скорость каждой машины?
• в) Какова продолжительность пробега каждой машины?

Решение

Хотя требуется определить семь неизвестных величин, мы обойдемся при решении задачи только двумя: составим систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Обозначим скорость второй машины через х. Тогда скорость первой выразится через х + 15, а третьей - через х - 3.

Длину участка пути обозначим буквой у. Тогда продолжительность пробега обозначится:

для первой  машины через y/(x + 15), 
для второй  машины через y/x,
для третьей машины через y/(x - 3).

Мы знаем, что вторая машина была в пути на 12 минут (т. е. на 1/5 часа) дольше первой. Поэтому

y/x - y/(x + 15) = 1/5.

Третья машина была в пути на 3 минуты (т. е. на 1/20 часа) больше второй. Следовательно,

y/(x - 3) - y/x = 1/20.

Второе из этих уравнений умножим на 4 и вычтем из первого:

y/x - y/(x + 15) - 4(y/(x-3) - y/x) = 0.

Разделим все члены этого уравнения на у (эта величина, как мы знаем, не равна нулю) и после этого освободимся от знаменателей. Мы получим:

(x + 15)(х - 3) - х(х - 3) - 4х(х + 15) + 4(x + 15)(x - 3) = 0,

или после раскрытия скобок и приведения подобных членов:

3х - 225 = 0,

откуда

х = 75.

Зная х, находим у из первого уравнения:

y/75 - y/90 = 1/5,

откуда y = 90.

Итак, скорости машин определены:

90, 75 и 72 километра в час.

Длина всего пути = 90 км.

Разделив длину пути на скорость каждой машины, найдем продолжительность пробегов:

 первой машины    1 час, 
 второй машины    1 час 12 мин., 
 третьей машины   1 час 15 мин.

Таким образом, все семь неизвестных определены.