Задача Ньютона

Рассмотрим теперь ньютонову задачу о быках, по образцу которой составлена сейчас рассмотренная.

Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.

"Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 1/3 га, 10 га и 24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй - 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?".

Решение

Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение недели прирастает травы 3 1/3y, а в течение 4 недель 3 1/3y × 4 = 40/3y того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной

(3 1/3 + 40/3y)

гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в 3 1/3 + 40/3y гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади

(3 1/3 + 40y/3): 48 = (10 + 40y)/144

гектаров.

Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели, из данных для второго луга:

  недельный прирост на  1 га =   у, 
9-недельный прирост на  1 га =  9y, 
9-недельный прирост на 10 га = 90у.

Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна

10 + 90y.

Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели, -

(10 + 90у)/9 × 21 = (10 + 90у)/189

гектаров. Обе нормы прокормления должны быть одинаковы:

(10 + 40у)/144 = (10 + 90у)/189.

Решив это уравнение, находим y = 1/12.

Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели:

(10 + 40у)/144 = (10 + 40 × 1/12)/144 = 5/54

гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем:

(24 + 24 × 18 × 1/12)/18x = 5/54,

откуда x = 36. Третий луг может прокормить в течение 18 недель 36 быков.