Коровы на лугу

Задача

"При изучении наук задачи полезнее правил", - писал Ньютон в своей "Всеобщей арифметике" и сопровождал теоретические указания рядом примеров.

В числе этих упражнений находим задачу о быках, пасущихся на лугу, - родоначальницу особого типа своеобразных задач наподобие следующей.

"Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров - в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?".

Рис. 8. Коровы на лугу

Задача эта послужила сюжетом для юмористического рассказа, напоминающего чеховский "Репетитор". Двое взрослых, родственники школьника, которому эту задачу задали для решения, безуспешно трудятся над нею и недоумевают:

- Выходит что-то странное, - говорит один из решающих: - если в 24 дня 70 коров поедают всю траву луга, то сколько коров съедят ее в

96 дней? Конечно, 1/4 от 70, т. е. 17 1/2 коров... Первая нелепость! А вот вторая: 30 коров поедают траву в 60 дней; сколько коров съедят ее в 96 дней? Получается еще хуже: 18 3/4 коровы. Кроме того: если 70 коров поедают траву в 24 дня, то 30 коров употребляют на это 56 дней, а вовсе не 60, как утверждает задача.

- А приняли вы в расчет, что трава все время растет? - спрашивает другой.

Замечание резонное: трава непрерывно растет, и если этого не учитывать, то не только нельзя решить задачи, но и само условие ее будет казаться противоречивым.

Как же решается задача?

Решение

Введем и здесь вспомогательное неизвестное, которое будет обозначать суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу. В одни сутки прирастает у, в 24 дня - 24y; если общий запас принять за 1, то в течение 24 дней коровы съедают

1 + 24у.

В сутки все стадо (из 70 коров) съедает

(1 + 24y)/24,

а одна корова съедает

(1 + 24y)/24 × 70.

Подобным же образом из того, что 30 коров поели бы траву того же луга в 60 суток, выводим, что одна корова съедает в сутки

(1 +60y)/30 × 60.

Но количество травы, съедаемое коровой в сутки, для обоих стад одинаково. Поэтому

(1 + 24y)/24 × 70 = (1 + 60y)/30 × 60.

откуда

y = 1/480.

Найдя у (величину прироста), легко уже определить, какую долю первоначального запаса травы съедает одна корова в сутки:

(1 + 24у)/24 × 70 = (1 + 24 × 1/480)/24 × 70 = 1/1600.

Наконец, составляем уравнение для окончательного решения задачи: если искомое число коров х, то

(1 + 96 × 1/480)/96x = 1/1600,

откуда х = 20.

20 коров поели бы всю траву в 96 дней.