ДИОФАНТОВО МНОЖЕСТВО

ДИОФАНТОВО МНОЖЕСТВО - множество , состоящее из упорядоченных наборов из n целых (целых неотрицательных, целых положительных) чисел, для к-рого можно указать диофантово уравнение

Р(a₁, ..., а_n, х₁, ..., x_l) = 0, (*)

зависящее от n параметров a₁, ..., а_n, допустимыми значениями к-рых являются целые (соответственно целые неотрицательные или целые положительные) числа, и разрешимое относительно х₁, ..., x_l тогда и только тогда, когда (a₁, ..., а_n) ∈ . Здесь несущественно, понимается ли под разрешимостью существование решения в целых, целых неотрицательных или целых положительных числах, поскольку уравнение (*) разрешимо в целых (целых неотрицательных, целых положительных) числах тогда и только тогда, когда уравнение

Р(a₁, ..., а_n, y₁ - z₁, ..., y_l - z_l) = 0

разрешимо в целых положительных числах (соответственно тогда и только тогда, когда уравнение

Р(a₁, ..., а_n, z₁ + 1, ..., z_l + 1) = 0

разрешимо в целых неотрицательных числах, или соответственно тогда и только тогда, когда уравнение

Р(a₁, ..., а_n, p²₁ + q²₁ + r²₁ + s²₁, ..., p²_l + q²_l + r²_l + s²_l) = 0

разрешимо в целых числах, ибо по теореме Лагранжа каждое целое неотрицательное число представимо в виде суммы четырех квадратов).

Для любого Д. м. можно указать соответствующее уравнение (*), в к-ром степень многочлена Р не больше 4 (это достигается ценой увеличения числа неизвестных). Для каждого Д. м. целых неотрицательных чисел, помимо уравнения общего вида (*), можно указать уравнение вида Р(х₁, ..., x_l) = a₁; иными словами, каждое Д. м. целых неотрицательных чисел является множеством всех неотрицательных значений, принимаемых некоторым многочленом с целочисленными коэффициентами при произвольных значениях переменных. В качестве Р всегда можно взять многочлен степени не выше 5, если допустимыми значениями переменных являются целые неотрицательные или целые положительные числа, и многочлен степени не выше 6, если переменные принимают произвольные целочисленные значения.

Класс Д. м. замкнут относительно операций перестановки и отождествления аргументов, объединения, пересечения, прямого произведения и проектирования (проекцией множества , состоящего из упорядоченных наборов из n чисел, наз. множество {〈a₁, ..., а_n-1〉: ∃b [〈a₁, ..., а_n-1, b〉 ∈ ]}, а также относительно операции, ставящей множеству в соответствие множество

{〈a₁, ..., а_n-1, b〉: ∀c [c ≤ b ⇒ 〈a₁, ..., а_n-1, c〉 ∈ ]}

Класс Д. м. совпадает с классом перечислимых множеств (см. Диофантовых уравнений проблема разрешимости), и все результаты о перечислимых множествах переносятся на Д. м. В частности, из теоремы о существовании универсального перечислимого множества следует, что существует такое число l, что для каждого n существует многочлен U_n(a₁, ..., а_n, m, х₁, ..., x_l) с целочисленными коэффициентами, универсальный в следующем смысле: для каждого диофантова (перечислимого) множества , состоящего из упорядоченных наборов из n чисел, можно указать такое значение параметра m (номер множества ), что уравнение

U_n(a₁, ..., а_n, m, х₁, ..., x_l) = 0

разрешимо относительно х₁, ..., x_l тогда и только тогда, когда (a₁, ..., а_n) ∈ . Существуют многочлены, универсальные в других смыслах (см., напр., [1]).

Диофантовыми являются многие интересные с теоретико-числовой точки зрения множества, напр. множество всех простых чисел, множество всех совершенных чисел, множество всех тех n, для к-рых разрешимо уравнение Ферма

xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Доказательство теоремы о том, что перечислимые множества диофантовы, является эффективным, т. е. для стандартно заданного перечислимого множества можно явно указать соответствующее диофантово уравнение. Этот универсальный метод, не использующий специфики рассматриваемых множеств, приводит к довольно громоздким многочленам, однако для нек-рых конкретных множеств удается найти их сравнительно простые диофантовы представления, опираясь, кроме перечислимости, на другие свойства этих множеств.

Можно рассматривать и называть диофантовыми множества, представимые как множества всех тех упорядоченных наборов из п элементов нек-рого кольца K, для к-рых в этом кольце разрешимо относительно х₁, ..., x_l уравнение вида (*), где Р - многочлен либо с целочисленными коэффициентами, либо с коэффициентами из К.

Лит.: [1] Матиясевич Ю. В., «Успехи матем. наук», 1972, т. 27, в. 5, с. 185-222.

Ю. В. Матиясевич.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.