Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

4. Деление угла на три равные части, пользуясь новой улиткой

Для построения кривой трисекции угла может быть использована схема, приведенная на рисунке 37. На ней - заданный, а равен его третьей части. На наклонной стороне заданного угла OAB взята произвольная точка O и радиусом OA проведена окружность,

которая пересекает сторону угла OAB в точке D. Проведя через эту точку радиус OD и продолжая его до пересечения с прямой AB - второй стороной заданного угла OAB,- получим - оба равнобедренные. Докажем это.

Рис. 37
Рис. 37

- равнобедренный, так как Следовательно, Но - внешний относительно поэтому


или


откуда

Следовательно, - равнобедренный и AD = DE.

Отсюда получаем способ деления угла на три равные части. Для этого надо из произвольной точки O, выбранной на стороне заданного угла, провести радиусом OA окружность, а затем из вершины A заданного угла провести прямую AD так, чтобы, соединив точку D с центром окружности O и продолжив полученную прямую OD до пересечения со стороной AB, получить DE = AD. На рисунке 38 показано, как найти положение прямой AD, удовлетворяющее этому условию.

Рис. 38
Рис. 38

Из вершины A заданного угла проводим несколько прямых, пересекающих окружность в точках 1, 2, 3 и 4. Эти точки соединяем с центром окружности, продолжаем полученные радиусы за окружность и на продолжении каждого радиуса откладываем отрезок, равный расстоянию конца радиуса от вершины A заданного угла. Таким образом, нами получены точки 1', 2', 3' и 4', которые соединяем плавной кривой MN. Точку пересечения этой кривой со стороной AB заданного угла OAB соединяем с центром окружности O. Эта прямая OE пересечет окружность в точке D, которую соединяем с вершиной А заданного угла. Так как согласно нашему построению AD = DE, то прямая AD и является искомой.

Чтобы избежать необходимости строить указанным выше способом кривую MN для каждого угла, который требуется разделить на три равные части, на рисунке 39 дается построение полной кривой. Способ построения ее следующий. Точка P, центр окружности, принята за полюс, сама окружность принята за базис, а отрезки, откладываемые на продолжениях радиусов, в отличие от кривых конхоид не равны друг другу, а изменяются по следующему определенному закону. Принимаем точку O на окружности за второй полюс и из него проводим лучи до концов радиусов. Получаем отрезки O1, O2, O3, O4 и т. д. Каждый из этих отрезков откладываем на продолжении своего радиуса, т. е. откладываем 11' = O1, 22' = O2, 33' = O3, 44' = O4 и т. д. Полученные точки 1', 2', 3', 4' и т. д. соединяем плавной кривой.

Рис. 39
Рис. 39

Как видим, откладываемые отрезки сперва увеличиваются от нуля до длины, равной диаметру окружности, а потом уменьшаются снова до нуля. Полученная кривая по своему виду напоминает улитку Паскаля, поэтому дальше называем ее новой улиткой.

На рисунке 40 построена номограмма для трисекции углов при помощи такой улитки. Номограмма состоит из половины новой улитки и полуокружности. Точка O является вершиной заданного угла. Из рисунка 40 видно, что для нахождения третьей части заданного угла AOP достаточно точку A соединить с точкой P, тогда Если точку B, полученную при пересечении прямой AP с окружностью, соединить с точкой O, то получим Докажем это.

Рис. 40
Рис. 40

По способу построения этой улитки имеем, что OB = BA, следовательно, - равнобедренный и Но - внешний относительно , поэтому В свою очередь - тоже равнобедренный, так как OP = PB = R, следовательно, а Таким образом, проводя прямую OB, отсекаем от заданного угла его третью часть. Пользуясь этой номограммой, можно произвести трисекцию любого угла от 0° до 135°.

предыдущая главасодержаниеследующая глава



ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru