Глава III. Задача о квадратуре круга

§ 1. История возникновения задачи о квадратуре круга

Задача о квадратуре круга, как указывалось выше, заключается в следующем: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Задача о квадратуре круга - самая старая из всех математических задач. Она возникла на заре человеческой культуры и ее история охватывает период около четырех тысяч лет. Этой задачей раньше греков занимались вавилоняне и египтяне. Независимо от греков ею занимались китайцы и индийцы. Задача о квадратуре круга вместе с тем является самой популярной из всех математических задач. Этой популярности, по-видимому, содействовала ее жизненная необходимость и чрезвычайная просто та формулировки, которая доступна как математику, так и нематематику.

Особенно большое распространение эта задача получила в древней Греции. Об этой задаче даже говорит человек, далекий от математики,- древнегреческий драматург Аристофан (446-385 гг. до н. э.). Так, в его комедии "Птицы" приводится любопытный в этом отношении диалог между ученым-землемером Метоном и афинянином Писфетером. Приводим этот диалог полностью.

Метон.

Я к вам пришел.

Писфетер.

Еще несчастье новое.
Зачем пришел ты? И каков твой замысел?
С какими ты сюда явился целями?

Метон.

Я землемер. Хочу отмерить каждому
Полоску воздуха.

Писфетер.

О боги правые!
Ты что за человек?

Метон.

Зовусь Метоном я, 
Знаком всем грекам, и колонцам в частности.

Писфетер.

А это что?

Метон.

Орудье измеренья. 
Напоминает очень воздух формою 
Кастрюлю для тушенья. Здесь линейку я 
Изогнутую приложу и циркулем 
Отмерю расстоянье, понимаешь?

Писфетер.

Нет.

Метон.

Затем прямую, тоже по линеечке, 
Я проведу, чтобы круг квадратом сделался. 
Здесь, в центре, будет рынок. К рынку улицы 
Пойдут прямые. Так лучи расходятся, 
Сверкая, от звезды. Звезда округлая, 
Лучи прямые.

Писфетер.

Ты Фалес поистине!..

По свидетельству Плутарха, первый из греческих математиков, кто по-серьезному занимался квадратурой круга, был Анаксагор (500-428 гг. до н. э.). Будучи посажен в тюрьму за безбожие, он предался размышлениям на математические темы. В результате этих размышлений, отгонявших печаль и тоску о свободе, он и "начертал квадратуру круга". Каким путем пытался он решить задачу о квадратуре круга, это, к сожалению, до нас не дошло.

Квадратурой круга много занимался другой греческий ученый Гиппий из Элиды (ок. V в. до н. э.). В 420 г. до н. э. он открыл, как указывалось выше, трансцендентную кривую - квадратрису, которая служила для решения задач о трисекции угла и квадратуры круга. Первый из древнегреческих ученых, кто применил квадратрису Гиппия для решения задачи о квадратуре круга, был Динострат, живший во второй половине IV в. до н. э.

В дальнейшем увидим, что большой вклад в историю задачи о квадратуре круга внесли современники Сократа (469-399 гг. до н. э.) Антифон и Бризон, а также Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V в. до н. э. Изыскания древнегреческих ученых, связанные с задачей о квадратуре круга, завершаются замечательными исследованиями по этому вопросу величайшего математика древности Архимеда из Сиракуз, жившего в III в. до н. э. Его трактат "Измерение круга" является образцом строгой научной постановки вопроса и его приближенного решения.