Глава II. Задача о трисекции угла

§ 1. История возникновения задачи о трисекции угла

Вторая древнейшая знаменитая геометрическая задача - это задача о трисекции угла. Слово "трисекция" происходит от латинского tri - в сложных словах означает "три" - и sectio - "разрезание", "рассечение". Родиной этой задачи является древняя Греция (примерно V в. до н. э.). Возникновение задачи о трисекции угла в отличие от делосской задачи об удвоении куба не связано ни с какими преданиями и легендами. Задача о делении угла на три равные части, по-видимому, возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. При составлении рабочих чертежей орнаментов, разного рода украшений, многогранных колоннад и т. д., при строительстве, внутренней и внешней отделке храмов, надгробных памятников и других больших и малых сооружений древние инженеры, художники и архитекторы встретились с необходимостью уметь делить окружность на любое конечное число равных частей, а это в некоторых случаях (и довольно часто) приводило их к рассмотрению трисекции некоторых углов. Делить угол пополам древние греки умели довольно легко, а вот разделить угол на три равные части оказалось не всегда возможно.

Сама жизнь и прежде всего практические запросы архитектуры и строительной техники требовали от геометров хорошо разработанной теории и практики построения правильных многоугольников. И нет ничего удивительного, что в древней Греции теория и практика построения правильных многоугольников в геометрической науке очень рано привлекает внимание ученых. Строить правильный многоугольник им удавалось сравнительно просто, когда равные дуги получались путем деления соответствующих центральных углов каждый раз пополам. Но случалось так, что равные дуги надо было получить путем деления центрального угла на три равные части, тогда перед геометрами возникали чрезвычайно большие трудности, которые и привели ученых к специальному рассмотрению задачи о трисекции угла. Действительно, пользуясь циркулем и линейкой, древние греки, например, легко строили правильный восьмиугольник. Для этой цели окружность делилась пополам, полученные дуги опять делились пополам, а потом равные дуги, центральные углы которых равны 90°, делились еще раз пополам. Затем концы равных восьми дуг соединялись хордами. Правильный восьмиугольник считался построенным. Но картина совершенно менялась, когда приходилось строить, скажем, правильный девятиугольник. В этом случае окружность надо разделить на 9 равных частей. Разделив окружность на три равные части, получали центральные углы в 120°. Теперь для завершения построения надо произвести трисекцию угла в 120°, а этого при помощи только циркуля и линейки, оказывается, выполнить точно невозможно. Здесь и в других подобных случаях перед учеными встала одна из трудных геометрических проблем, которая стала называться "знаменитой задачей о трисекции угла".